回顾 例 7.1.7 的两个估计量

对 例 7.1.7 (液晶屏亮点分布端点的最大似然估计与矩估计) 中的总体, 我们得到两个无偏估计量 ${\hat{\theta }}_M=2\bar{X}\text{ 和 }\hat{\theta }=\frac{n+1}{n}{X}_{\left(n\right)}.$ 一个自然的问题是哪一个比较 “好” 呢? 对这两个均值都为 $\theta$ 的随机变量, 自然地我们认为, 方差 较小的应当是比较 “好” 的.

下面我们来计算它们的方差.

\begin{align} \operatorname{Var}_{\theta} \left[ \widehat{\theta}_{M} \right] &= \operatorname{Var}_{\theta} \left[ 2\bar{X} \right] \\ &= \frac{2^{2}}{n^{2}} \left\{ \operatorname{Var}_{\theta} \left[ X_{1} \right] + \operatorname{Var}_{\theta} \left[ X_{2} \right] + \cdots + \operatorname{Var}_{\theta} \left[ X_{n} \right] \right\} \\ &= \frac{4}{n^{2}} \cdot n \cdot \frac{\theta^{2}}{12} \\ &= \frac{\theta^{2}}{3n}. \end{align} $$而$$ \begin{align} \operatorname{Var}_{\theta} \left[ \widehat{\theta} \right] &= \frac{(n + 1)^{2}}{n^{2}} \operatorname{Var}_{\theta} \left[ X_{(n)} \right] \\ &= \frac{(n + 1)^{2}}{n^{2}} \left\{ E_{\theta} \left[ X_{(n)}^{2} \right] - \left( E_{\theta} \left[ X_{(n)} \right] \right)^{2} \right\} \\ &= \frac{(n + 1)^{2}}{n^{2}} \left\{ \int_{0}^{\theta} x^{2} n \frac{x^{n - 1}}{\theta^{n}} \mathrm{d}x - \frac{n^{2}}{(n + 1)^{2}} \theta^{2} \right\} \\ &= \frac{(n + 1)^{2}}{n^{2}} \left\{ \frac{n}{n + 2} \theta^{2} - \frac{n^{2}}{(n + 1)^{2}} \theta^{2} \right\} \\ &= \frac{\theta^{2}}{n(n + 2)}. \end{align}

可见,只要 $n>1$,就有

$${\mathrm{Var}}_{\theta }\left[\hat{\theta }\right]<{\mathrm{Var}}_{\theta }\left[{\hat{\theta }}_M\right]$$

亦即, 我们认为 $\hat{\theta }=\frac{n+1}{n}{X}_{\left(n\right)}$ 比 ${\hat{\theta }}_M=2\bar{X}$ 要 “好”.