例 7.1.7 (液晶屏亮点分布端点的最大似然估计与矩估计)

据产品检验部门的经验, 某便携式电脑的液晶显示屏出现的亮点或黑点, 在从屏幕左侧开始的每个水平线的一段上均匀出现, 试用最大似然法和矩法分别估计该水平线段的最右端点的值.

解

最大似然法

由题意设 $X\sim U\left[0,\theta \right]$, 样本观测值为 $\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)$, 则 $X$ 的似然函数为

$$L\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n;\theta \right)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{{\theta }^n},& x_1,x_2,\cdots ,x_n\in \left(0,\theta \right),\\ 0,& \text{ 其他. }\end{array}$$

显然, 为要 $L\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n;\theta \right)$ 取到最大值, 就应当是在包含所有的 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ 的区间 $\left(0,\theta \right)$ 中找一个最短的, 所以应有

$$\theta =\max \left\{x_1,x_2,\cdots ,x_n\right\}$$

最终得 $\theta$ 的最大似然估计量为

$${\hat{\theta }}_L=\max \left\{X_1,X_2,\cdots ,X_n\right\}=X_{\left(n\right)}.$$

也就是, 该水平线段的最右端点的值的最大似然估计量为顺序统计量 $X_{\left(n\right)}$.

矩估计

另外, 由于

$$E\left[X\right]=\frac{\theta }{2}$$

即

$$\theta =2E\left[X\right]$$

从而得 $\theta$ 的矩法估计量为

$${\hat{\theta }}_M=2\bar{X}$$

也就是, 该水平线段的最右端点的值的矩法估计量为 $2\bar{X}$.

Warning

$2\bar{X}$ 可能小于 $X_{(n)}$。