定义 (似然函数, likelihood function)

设 $X$ 的分布密度函数为 $f_X\left(\cdot ,\theta \right)$, 大家知道, 若 $f_X\left(x,\theta \right)$ 在 $x=x_0$ 处取值较大, 则 $X$ 取值为 $x_0$ 附近的概率也较大. 于是我们要求 $\theta$ 的取值使得 $\left(X_1,X_2,\cdots ,X_n\right)$ 的联合密度函数在样本观测值 $\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)$ 处取到最大. 记 $\left(X_1,X_2,\cdots ,X_n\right)$ 的联合密度函数为 $L\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n;\theta \right)$, 则由 命题 6.1.1 (样本联合分布的形式与独立同分布假设) 知,

$$L\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n;\theta \right)=\prod _{i=1}^n{f}_X\left(x_i,\theta \right).\text{\hspace{1em}(7.1.4)}$$

我们称 $L$ 为 $X$ 的似然函数.