定义 7.3.1 (区间估计 估计区间 置信区间)

设

• 总体 $X\sim F_X\left(\cdot ,\theta \right)$, $\theta \in \Theta$,
• $g$ 为 $\theta$ 的函数.

若有统计量 $T_1\left(X_1,X_2,\cdots ,X_n\right)$ 和 $T_2\left(X_1,X_2,\cdots ,X_n\right)$ 使得对给定的 $\alpha \left(0<\alpha <1\right)$ 有

$$\begin{array}{rl}& P\left[T_1\left(X_1,X_2,\cdots ,X_n\right)\le g\left(\theta \right)\le T_2\left(X_1,X_2,\cdots ,X_n\right)\right]\\ & =1-\alpha ,\end{array}\text{\hspace{1em}(7.3.1)}$$

则称 $\left[T_1\left(X_1,X_2,\cdots ,X_n\right),T_2\left(X_1,X_2,\cdots ,X_n\right)\right]$ 为 $g\left(\theta \right)$ 的置信度为 $1-\alpha$ 的区间估计 (或估计区间, 置信区间), 其中

• $T_1\left(X_1,X_2,\cdots ,X_n\right)$ 称为 置信下限
• $T_2\left(X_1,X_2,\cdots ,X_n\right)$ 称为 置信上限
• $1-\alpha$ 称为 置信度 (confidence level)
  • $\alpha$ 称为 显著性水平 (significance level)