7.3 参数的区间估计

• 从点估计到区间估计：为什么需要一个范围？
• 7.3.1 单个正态总体参数的区间估计
• 7.3.2 两个正态总体参数的区间估计
• 7.3.3 单个正态总体参数 (mu, sigma2) 的联合区间估计
• 7.3.4 非正态总体参数的区间估计

与参数的点估计不同, 区间估计是以两个统计量 $T_1\left(X_1,X_2,\cdots ,X_n\right)$ 和 $T_2\left(X_1,X_2,\cdots ,X_n\right)$ 为左右端点构成一个随机区间, 并且要求该随机区间包含待估计参数的概率满足一定的要求.

定义 7.3.1 (区间估计 估计区间 置信区间)

设

• 总体 $X\sim F_X\left(\cdot ,\theta \right)$, $\theta \in \Theta$,
• $g$ 为 $\theta$ 的函数.

若有统计量 $T_1\left(X_1,X_2,\cdots ,X_n\right)$ 和 $T_2\left(X_1,X_2,\cdots ,X_n\right)$ 使得对给定的 $\alpha \left(0<\alpha <1\right)$ 有

$$\begin{array}{rl}& P\left[T_1\left(X_1,X_2,\cdots ,X_n\right)\le g\left(\theta \right)\le T_2\left(X_1,X_2,\cdots ,X_n\right)\right]\\ & =1-\alpha ,\end{array}\text{\hspace{1em}(7.3.1)}$$

则称 $\left[T_1\left(X_1,X_2,\cdots ,X_n\right),T_2\left(X_1,X_2,\cdots ,X_n\right)\right]$ 为 $g\left(\theta \right)$ 的置信度为 $1-\alpha$ 的区间估计 (或估计区间, 置信区间), 其中

• $T_1\left(X_1,X_2,\cdots ,X_n\right)$ 称为 置信下限
• $T_2\left(X_1,X_2,\cdots ,X_n\right)$ 称为 置信上限
• $1-\alpha$ 称为 置信度 (confidence level)
  • $\alpha$ 称为 显著性水平 (significance level)

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由于代入一次具体的抽样得到的样本观测值 $\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)$ 计算出的区间

$$\left[T_1\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right),T_2\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)\right]$$

是一个确定的区间, 它要么包含 $g\left(\theta \right)$, 要么不包含 $g\left(\theta \right)$, 不能说它包含 $g\left(\theta \right)$ 的概举为 $1-\alpha$. 但在寻求统计量 $T_1\left(X_1,X_2,\cdots ,X_n\right)$ 和 $T_2\left(X_1,X_2,\cdots ,X_n\right)$ 时, 又与 $\alpha$ 的大小有关, 所以我们把 $1-\alpha$ 称为的区间估计的置信度.

置信区间的解释

• 正确解释: 在大量重复抽样中，按同样方法构造出的 $(1-\alpha )\times 100\%$ 的区间会包含参数 $\theta$ 的真值。或者说，我们有 $(1-\alpha )\times 100\%$ 的信心认为，我们构造出来的 这个具体 区间包含了参数真值。
• 错误解释: “参数 $\theta$ 有 $1-\alpha$ 的概率落入这个具体的计算出的区间 $({\hat{\theta }}_{L,obs},{\hat{\theta }}_{U,obs})$ 内”。 (错误原因：参数 $\theta$ 是一个未知的 常量，而非随机变量；计算出的具体区间也是固定的，要么包含 $\theta$，要么不包含，概率是 1 或 0)。随机性在于区间 $({\hat{\theta }}_L,{\hat{\theta }}_U)$ 本身，而不是 $\theta$。

另外, (7.3.1) 右端写为 $1-\alpha$ 是便于与第八章介绍的假设检验的相应表达式相联系和比较.