7.3 参数的区间估计

• 7.3.1 单个正态总体参数的区间估计
• 7.3.2 两个正态总体参数的区间估计
• 表 7.1 正态总体参数的区间估计
• 7.3.3 单个正态总体参数 (mu,sigma2) 的联合区间估计
• 7.3.4 非正态总体参数的区间估计

与参数的点估计不同,区间估计是以两个统计量 $T_1\left(X_1,X_2,\cdots ,X_n\right)$ 和 $T_2\left(X_1,X_2,\cdots ,X_n\right)$ 为左右端点构成一个随机区间,并且要求该随机区间包含待估计参数的概率满足一定的要求.

定义 7.3.1 (区间估计 估计区间 置信区间)

设总体 $X\sim F_X\left(\cdot ,\theta \right),\theta \in \Theta ,g$ 为 $\theta$ 的函数. 若有统计量 $T_1\left(X_1,X_2,\cdots ,X_n\right)$ 和 $T_2\left(X_1,X_2,\cdots ,X_n\right)$ 使得对给定的 $\alpha \left(0<\alpha <1\right)$ 有

$$P\left(T_1\left(X_1,X_2,\cdots ,X_n\right)\le g\left(\theta \right)\le T_2\left(X_1,X_2,\cdots ,X_n\right)\right)=1-\alpha ,\text{\hspace{1em}(7.3.1)}$$

则称 $\left[T_1\left(X_1,X_2,\cdots ,X_n\right),T_2\left(X_1,X_2,\cdots ,X_n\right)\right]$ 为 $g\left(\theta \right)$ 的置信度为 $1-\alpha$ 的区间估计 (或估计区间, 置信区间).

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由于代入一次具体的抽样得到的样本观测值 $\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)$ 计算出的区间

$$\left[T_1\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right),T_2\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)\right]$$

是一个确定的区间, 它要么包含 $g\left(\theta \right)$, 要么不包含 $g\left(\theta \right)$, 不能说它包含 $g\left(\theta \right)$ 的概举为 $1-\alpha$. 但在寻求统计量 $T_1\left(X_1,X_2,\cdots ,X_n\right)$ 和 $T_2\left(X_1,X_2,\cdots ,X_n\right)$ 时 $\nabla$ 与 $\alpha$ 的大小有关,所以我们把 $1-\alpha$ 称为的区间估计的置信度.

相联系和比较. 另外,(7.3.1) 右端写为 $1-\alpha$ 是便于与第八章介绍的假设检验的相应表达式