引入 期望的区间估计 (已知方差)

以下是一些用以引入和解析 “总体期望 $\mu$ 的区间估计 (当总体方差 ${\sigma }^2$ 已知时)” 的例子，侧重于解释为何 $\sigma$ 可能已知而 $\mu$ 未知，并引出区间估计的需求。

• 引言问题:

  • 我们通过样本均值 $\bar{X}$ 估计总体均值 $\mu$。
  • $\bar{X}$ 是点估计，但它的可靠性如何？
  • 能否给出一个范围，并说明有多大的把握（置信度）认为 $\mu$ 在此范围内？

• 例子 1: 精密仪器的校准

  • 场景：校准一台日常使用的工作基准温度计。该仪器用于对照一个绝对准确的标准温度源（温度为 ${\mu }_0$）。
  • 已知 $\sigma$：长期使用表明，该工作基准仪器单次测量的随机误差服从正态分布，且标准差 $\sigma =0.05$ 摄氏度。这个 $\sigma$ 代表仪器固有的、稳定的测量波动性。
  • 未知 $\mu$：需要确定该仪器当前是否存在系统偏差，即它的真实平均测量值 $\mu$ 是多少，是否偏离了 ${\mu }_0$。
  • 数据：对标准源进行 $n=25$ 次独立测量，得到样本均值 $\bar{X}$ (例如 $\bar{X}=100.02$ 摄氏度)。
  • 区间需求：点估计 $\bar{X}=100.02$ 受随机误差影响。需要构造一个区间（例如 95% 置信区间）来估计 $\mu$ 的真实值。通过判断该区间是否包含 ${\mu }_0$，来评估仪器是否需要重新校准。
  • 解析引出：已知 $\sigma =0.05,n=25,\bar{X}=100.02$。$\bar{X}$ 的抽样分布为 $N(\mu ,{\sigma }^2/n)$。可以利用此性质构造 $\mu$ 的置信区间。

• 例子 2: 标准化考试的“特长班”

  • 场景：评估某学校“数学特长班”学生的平均 IQ 水平。
  • 已知 $\sigma$：已知某标准化 IQ 测试在普通人群中得分服从正态分布 $N(100,15^2)$，即 $\sigma =15$ 是测试设计好的、稳定的参数。假设该特长班学生 IQ 的离散程度与普通人群相同。
  • 未知 $\mu$：需要估计这个特定“特长班”全体学生的真实平均 IQ 分数 ${\mu }_{spec}$。
  • 数据：随机抽取 $n=36$ 名特长班学生进行测试，得到样本平均分 $\bar{X}$ (例如 $\bar{X}=115$)。
  • 区间需求：点估计 $\bar{X}=115$ 不能完全代表全体特长班学生的平均水平。需要构造一个区间（例如 99% 置信区间）来估计 ${\mu }_{spec}$，并判断该区间是否显著高于普通人群的平均值 100。
  • 解析引出：已知 $\sigma =15,n=36,\bar{X}=115$。假设 $\bar{X}$ 的抽样分布为 $N({\mu }_{spec},{\sigma }^2/n)$。利用此性质构造 ${\mu }_{spec}$ 的置信区间。

• 例子 3: 老配方的“稳定性” vs 新原料的“均值”

  • 场景：一家药厂评估使用新原料对药片有效成分含量的影响。
  • 已知 $\sigma$：基于多年使用旧原料和稳定工艺的数据，已知药片有效成分含量的标准差为 $\sigma =2$ 毫克。假设更换原料不改变生产过程的稳定性，即 $\sigma$ 保持不变。
  • 未知 $\mu$：需要确定使用新原料后，药片有效成分的真实平均含量 ${\mu }_{new}$ 是多少，是否与旧工艺的目标值 ${\mu }_{target}$ (例如 100mg) 不同。
  • 数据：用新原料试生产，随机抽取 $n=50$ 片检测，得到样本均值 ${\bar{X}}_{new}$ (例如 ${\bar{X}}_{new}=98.5$ mg)。
  • 区间需求：点估计 ${\bar{X}}_{new}=98.5$ 低于目标值。这是否是实质性差异，还是抽样波动？需要构造 ${\mu }_{new}$ 的置信区间，判断其是否包含 ${\mu }_{target}$。
  • 解析引出：已知 $\sigma =2,n=50,{\bar{X}}_{new}=98.5$。根据中心极限定理（$n=50$ 较大），${\bar{X}}_{new}$ 的抽样分布近似为 $N({\mu }_{new},{\sigma }^2/n)$。利用此性质构造 ${\mu }_{new}$ 的置信区间。