引入 期望的区间估计 (未知方差)

• 承接与对比:

  • 在前面的讨论中（${\sigma }^2$ 已知），我们使用 $Z=\frac{\bar{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}$ 作为枢轴量，因为它服从已知的标准正态分布 $N(0,1)$。
  • 然而，在绝大多数实际应用中，如果总体均值 $\mu$ 是未知的，那么总体方差 ${\sigma }^2$ (或标准差 $\sigma$) 通常也是未知的。假设 $\sigma$ 已知往往是不现实的。
  • 问题：当 $\sigma$ 未知时，我们应该怎么办？

• 解决方案：用样本估计总体

  • 自然的想法是用样本标准差 $S$ 来估计未知的总体标准差 $\sigma$。
    • 回顾：$S^2=\frac{1}{n-1}{\sum }_{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2$ 是 ${\sigma }^2$ 的无偏估计。
  • 我们尝试将 $Z$ 统计量中的 $\sigma$ 替换为它的估计值 $S$，得到新的统计量： $T=\frac{\bar{X}-\mu }{S/\sqrt{n}}$
  • 关键问题：这个新的统计量 $T$ 还服从标准正态分布 $N(0,1)$ 吗？
    • 答案：不服从。因为分母上的 $S$ 本身是从样本计算出来的，它是一个随机变量，具有抽样波动性。这种来自估计 $\sigma$ 的额外不确定性，使得 $T$ 的分布与 $Z$ 不同。

• 引入 t 分布 (Student’s t-distribution)

  • W.S. Gosset (笔名 Student) 在 1908 年研究了当总体服从正态分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$ 时，统计量 $T=\frac{\bar{X}-\mu }{S/\sqrt{n}}$ 的精确分布。
  • 这个分布被称为学生 t 分布 (或简称 t 分布)。
  • t 分布的特点：
    • 它由一个参数决定：自由度 (degrees of freedom, df)，对于单样本估计 $\mu$ 的问题，$df=n-1$。
    • 图像：关于 0 对称，形状类似标准正态分布，但尾部更“厚” (fatter tails)。这意味着 t 分布认为出现极端值的可能性比正态分布要大，这恰好反映了用 $S$ 替代 $\sigma$ 所引入的额外不确定性。
    • 随着自由度 $n-1$ 的增大，t 分布逐渐逼近标准正态分布 $N(0,1)$。当 $n$ 很大时 ($n\ge 30$ 或更大)，$S$ 对 $\sigma$ 的估计非常精确，t 分布与 Z 分布几乎没有差别。

• 利用 t 分布构造置信区间

  • 枢轴量：在总体 $N(\mu ,{\sigma }^2)$ 的假设下，$T=\frac{\bar{X}-\mu }{S/\sqrt{n}}$ 服从自由度为 $n-1$ 的 t 分布，记作 $t(n-1)$。这是一个理想的枢轴量，因为它包含 $\mu$，其分布已知且不依赖未知参数 ($\mu ,{\sigma }^2$)。
  • 构建概率不等式：对于给定的置信水平 $1-\alpha$，查找 t 分布的上 $\alpha /2$ 分位数 $t_{\alpha /2}(n-1)$，使得 $P(-t_{\alpha /2}(n-1)<T<t_{\alpha /2}(n-1))=1-\alpha$。
  • 推导置信区间：将 $T$ 的表达式代入并解出 $\mu$： $P(\bar{X}-t_{\alpha /2}(n-1)\frac{S}{\sqrt{n}}<\mu <\bar{X}+t_{\alpha /2}(n-1)\frac{S}{\sqrt{n}})=1-\alpha$
  • 置信区间公式 ($\sigma$ 未知时): $(\bar{X}-t_{\alpha /2}(n-1)\frac{S}{\sqrt{n}},\bar{X}+t_{\alpha /2}(n-1)\frac{S}{\sqrt{n}})$ 或者简写为 $\bar{X}\pm t_{\alpha /2}(n-1)\frac{S}{\sqrt{n}}$。

• 例子：

  • 这些例子更符合实际，因为我们不再需要假设 $\sigma$ 已知。

  • 例子 1: 新教学方法的效果评估

    • 场景：研究者想估计采用某种全新教学方法后，学生在某项能力测试上的平均得分 $\mu$。
    • $\sigma$ 未知原因：因为是新方法，没有历史数据可以提供该方法下学生得分的标准差 $\sigma$。$\mu$ 和 $\sigma$ 都需要从样本数据中估计。
    • 数据：随机抽取 $n=20$ 名学生接受新方法教学并参加测试。计算得到样本均值 $\bar{X}$ 和样本标准差 $S$。
    • 区间需求：构造 $\mu$ 的 95% 置信区间，以评估新方法的平均效果。
    • 解析：使用 t 分布，自由度 $df=n-1=19$。查找 $t_{0.025}(19)$，计算区间 $\bar{X}\pm t_{0.025}(19)\frac{S}{\sqrt{20}}$。

  • 例子 2: 游客日均消费估计

    • 场景：某城市旅游局想了解游客在该市的日均消费金额 $\mu$。
    • $\sigma$ 未知原因：不同游客的消费习惯差异很大，无法预先知道消费金额的标准差 $\sigma$。
    • 数据：随机调查 $n=50$ 名游客，记录其日均消费。计算样本均值 $\bar{X}$ 和样本标准差 $S$。
    • 区间需求：构造 $\mu$ 的 90% 置信区间，为旅游经济规划提供参考。
    • 解析：使用 t 分布，自由度 $df=n-1=49$。查找 $t_{0.05}(49)$，计算区间 $\bar{X}\pm t_{0.05}(49)\frac{S}{\sqrt{50}}$。

  • 例子 3: 新药疗效评估

    • 场景：制药公司研发了一种新降压药，想估计该药能使患者的收缩压平均降低多少 ($\mu$)。
    • $\sigma$ 未知原因：新药对不同患者的效果可能不同，其引起的血压降低值的标准差 $\sigma$ 是未知的。
    • 数据：选取 $n=25$ 名高血压患者服用该药一段时间，记录每人收缩压的降低值。计算这些降低值的样本均值 $\bar{X}$ 和样本标准差 $S$。
    • 区间需求：构造 $\mu$ 的 95% 置信区间，判断该药的平均降压效果。
    • 解析：使用 t 分布，自由度 $df=n-1=24$。查找 $t_{0.025}(24)$，计算区间 $\bar{X}\pm t_{0.025}(24)\frac{S}{\sqrt{25}}$。

• 总结与对比:

  • 当 $\sigma$ 未知时，使用样本标准差 $S$ 代替 $\sigma$，并使用 t 分布（自由度 $n-1$）代替 Z 分布来构造均值 $\mu$ 的置信区间。
  • t 分布的临界值 $t_{\alpha /2}(n-1)$ 通常大于对应的 $z_{\alpha /2}$ 值（尤其在 $n$ 较小时），这使得未知方差情况下的置信区间通常比已知方差情况下的区间要 宽。这反映了因为需要估计 $\sigma$ 而带来的额外不确定性，使得估计的精度有所下降。
  • 计算出的区间 $\bar{X}\pm t_{\alpha /2}(n-1)\frac{S}{\sqrt{n}}$ 提供了对未知总体均值 $\mu$ 的一个估计范围，并附加了 $1-\alpha$ 的置信度。