2. 期望的区间估计 (未知方差)

引入 期望的区间估计 (未知方差)

此时,欲模仿 (7.3.2) 寻求待估计参数 $\mu$ 的样本函数, 但现在 ${\sigma }^2$ 未知, (7.3.2) 的样本函数中有未知参数, 将来得不到 $\mu$ 的区间估计, 于是想到用 ${\sigma }^2$ 的点估计量 $S_n^2$ 代替 ${\sigma }^2$, 而此时的分布不再是 $N\left(0,1\right)$ 了, 好在我们有

推论 6.3.2 (标准化的样本均值服从 t 分布)

设总体 $X\sim N\left(\mu ,{\sigma }^2\right)$, $\left(X_1,X_2,\cdots ,X_n\right)$ 为其样本, 则

$$\frac{\bar{X}-\mu }{S_n^{\ast }}\sqrt{n}=\frac{\bar{X}-\mu }{S_n}\sqrt{n-1}\sim t\left(n-1\right).\text{\hspace{1em}(6.3.14)}$$

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对于给定的置信度 $1-\alpha$, 由

$$P\left(\left|\frac{\bar{X}-\mu }{S_n}\sqrt{n-1}\right|\le t_{1-\frac{\alpha }{2}}\left(n-1\right)\right)=1-\alpha ,$$

查表或用 $\mathrm{R}$ 软件计算得 $t_{1-\frac{\alpha }{2}}\left(n-1\right)$, 进而经等式变形得到 $\mu$ 的区间估计

$$\left[\bar{X}-t_{1-\frac{\alpha }{2}}\left(n-1\right)\frac{S_n}{\sqrt{n-1}},\bar{X}+t_{1-\frac{\alpha }{2}}\left(n-1\right)\frac{S_n}{\sqrt{n-1}}\right].\text{\hspace{1em}(7.3.6)}$$

由以上推导方法大家看到, 最关键的是要找到一个仅含待估计参数. 不含其他未知参数的样本函数, 并且求得它的分布. 而寻求这样的样本函数的思路很简单, 就是考虑未知参数的点估计量. 于是对于一个正态总体、两个独立正态总体的有关参数的区间估计, 依据

Transclude of 6.3.4-正态总体的抽样分布#单个正态分布

可知有关样本函数及其分布. 至于接下来要做的求分位点和等式变形就是初等运算了.

• 例 7.3.2 (滚珠直径 期望的区间估计 未知方差)
• 3.2

比较：期望的区间估计（已知方差 vs 未知方差）