2. 期望的区间估计 (未知方差)

此时,欲模仿 (7.3.2) 寻求待估计参数 $\mu$ 的样本函数,但现在 ${\sigma }^2$ 未知,(7.3.2) 的样本函数中有未知参数,将来得不到 $\mu$ 的区间估计,于是想到用 ${\sigma }^2$ 的点估计量 $S_n^2$ 代替 ${\sigma }^2$,而此时的分布不再是 $N\left(0,1\right)$ 了,好在我们有推论 6.3.2,它告诉

我们

$$\frac{\bar{X}-\mu }{S_n}\sqrt{n-1}\sim t\left(n-1\right)$$

对于给定的置信度 $1-\alpha$,由

$$P\left(\left|\frac{\bar{X}-\mu }{S_n}\sqrt{n-1}\right|\le t_{1-\frac{\alpha }{2}}\left(n-1\right)\right)=1-\alpha ,$$

查表或用 $\mathrm{R}$ 软件计算得 $t_{1-\frac{\alpha }{2}}\left(n-1\right)$,进而经等式变形得到 $\mu$ 的区间估计

$$\left[\bar{X}-t_{1-\frac{\alpha }{2}}\left(n-1\right)\frac{S_n}{\sqrt{n-1}},\bar{X}+t_{1-\frac{\alpha }{2}}\left(n-1\right)\frac{S_n}{\sqrt{n-1}}\right].\text{\hspace{1em}(7.3.6)}$$

由以上推导方法大家看到, 最关键的是要找到一个仅含待估计参数. 不含其他未知参数的样本函数, 并且求得它的分布. 而寻求这样的样本函数的思路很简甲, 就是考虑未知参数的点估计量. 于是对于一个正态总体、两个独立正态总体的有关参数的区间估计,依据 6.3 节的定理 6.3.1 及推论 6.3.1 或 10 。推论 6.3.4 就可知有关样本函数及其分布. 至于接下来要做的求分位点和等式变形就是初等运算 J.

例 7.3.2 在例 7.3.1 中若 ${\sigma }^2$ 未知,试求 $\mu$ 的置信度为 0.95 的区间估计.

解 由 $\bar{x}=14.95$ 和

$$s_n^2=\frac{1}{6}[{\left(14.6-14.95\right)}^2+{\left(15.1-14.95\right)}^2+{\left(14.9-14.95\right)}^2+{\left(14.8-14.95\right)}^2+$$ $${\left(15.2-14.95\right)}^2+{\left(15.1-14.95\right)}^2]={0.206}^2.$$

$\alpha =0.05$,查表或用 $\mathrm{R}$ 软件计算的 $t_{0.975}\left(5\right)=2.570582$,用 (7.3.6) 得到 $\mu$ 的置信度为 0.95 的置信区间 [14.713, 15.187].

另外,请读者执行如下两个 $\mathrm{R}$ 程序,看有什么结果.

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					x<-c(14.6,15.1,14.9,14.8,15.2,15.1)

					sigma<-sd(x)

					alpha<-0.05

			$n <  - {length}\left( x\right)$

		$\mathrm{z}1 <  - \mathrm{{mean}}\left( \mathrm{x}\right)$

	z2<-qt(1-alpha/2, n-1)*sigma/sqrt(n)

list(c.i=c(z1-z2, z1+z2))

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或者

x←c(14.6,15.1,14.9,14.8,15.2,15.1)

t.test(x,, ) $conf