比较方差比 的区间估计（期望未知 vs 期望已知）

一、 引言

• 背景：比较两个独立总体的变异程度（方差）的大小关系。
• 参数：我们关注的是两总体方差之比 ${\sigma }_1^2/{\sigma }_2^2$。
• 数据：拥有来自两个正态总体的独立随机样本：
  • 样本 1: $X_1,...,X_{n_1}$ 来自 $N({\mu }_1,{\sigma }_1^2)$。
  • 样本 2: $Y_1,...,Y_{n_2}$ 来自 $N({\mu }_2,{\sigma }_2^2)$。
• 关键分布：区间估计依赖于 F 分布，它定义为两个独立的卡方随机变量除以各自自由度后的比率。
  • 若 $V_1\sim {\chi }^2(k_1)$, $V_2\sim {\chi }^2(k_2)$ 且 $V_1,V_2$ 独立，则 $F=\frac{V_1/k_1}{V_2/k_2}\sim F(k_1,k_2)$。
• 目标：构造 ${\sigma }_1^2/{\sigma }_2^2$ 的 $1-\alpha$ 置信区间。方法取决于总体均值 ${\mu }_1,{\mu }_2$ 是否已知。

二、 情况一：两总体均值 ${\mu }_1,{\mu }_2$ 均未知 (标准情况)

• 前提假设：
  • 两样本独立。
  • 两总体均为正态分布 $N({\mu }_1,{\sigma }_1^2)$ 和 $N({\mu }_2,{\sigma }_2^2)$。
  • 均值 ${\mu }_1,{\mu }_2$ 未知。
• 基础卡方统计量：
  • 需要使用样本方差 $S_1^2=\frac{1}{n_1-1}\sum (X_i-\bar{X}{)}^2$ 和 $S_2^2=\frac{1}{n_2-1}\sum (Y_j-\bar{Y}{)}^2$。
  • 已知：
    • $V_1=\frac{(n_1-1)S_1^2}{{\sigma }_1^2}\sim {\chi }^2(k_1)$，其中自由度 $k_1=n_1-1$。
    • $V_2=\frac{(n_2-1)S_2^2}{{\sigma }_2^2}\sim {\chi }^2(k_2)$，其中自由度 $k_2=n_2-1$。
  • $V_1$ 和 $V_2$ 相互独立。
• F 统计量构造： $F=\frac{V_1/k_1}{V_2/k_2}=\frac{\frac{(n_1-1)S_1^2}{{\sigma }_1^2}/(n_1-1)}{\frac{(n_2-1)S_2^2}{{\sigma }_2^2}/(n_2-1)}=\frac{S_1^2/{\sigma }_1^2}{S_2^2/{\sigma }_2^2}$ $F=\frac{S_1^2}{S_2^2}\cdot \frac{{\sigma }_2^2}{{\sigma }_1^2}$
• F 统计量分布：
  • $F\sim F(k_1,k_2)=F(n_1-1,n_2-1)$。
• 枢轴量：
  • $F=\frac{S_1^2/{\sigma }_1^2}{S_2^2/{\sigma }_2^2}$ 是一个合适的枢轴量。
• 置信区间推导：
  • 查找 F 分布的临界值 $F_{1-\alpha /2}(n_1-1,n_2-1)$ 和 $F_{\alpha /2}(n_1-1,n_2-1)$。
  • $P(F_{1-\alpha /2}(n_1-1,n_2-1)<F<F_{\alpha /2}(n_1-1,n_2-1))=1-\alpha$。
  • 代入 F 表达式并整理分离出 ${\sigma }_1^2/{\sigma }_2^2$。
• $1-\alpha$ 置信区间公式 (for ${\sigma }_1^2/{\sigma }_2^2$): $\left(\frac{S_1^2}{S_2^2}\cdot \frac{1}{F_{\alpha /2}(n_1-1,n_2-1)},\frac{S_1^2}{S_2^2}\cdot \frac{1}{F_{1-\alpha /2}(n_1-1,n_2-1)}\right)$
  • 利用 $F_{1-\beta }(k_1,k_2)=1/F_{\beta }(k_2,k_1)$ 的性质，区间也可写为： $\left(\frac{S_1^2}{S_2^2}\cdot \frac{1}{F_{\alpha /2}(n_1-1,n_2-1)},\frac{S_1^2}{S_2^2}\cdot F_{\alpha /2}(n_2-1,n_1-1)\right)$

三、 情况二：两总体均值 ${\mu }_1,{\mu }_2$ 均已知

• 前提假设：
  • 两样本独立。
  • 两总体均为正态分布 $N({\mu }_1,{\sigma }_1^2)$ 和 $N({\mu }_2,{\sigma }_2^2)$。
  • 均值 ${\mu }_1,{\mu }_2$ 是已知的常数。
• 基础卡方统计量：
  • 直接使用围绕已知均值的离差平方和。定义 ${\hat{\sigma }}_{1,\mu }^2=\frac{1}{n_1}\sum (X_i-{\mu }_1{)}^2$ 和 ${\hat{\sigma }}_{2,\mu }^2=\frac{1}{n_2}\sum (Y_j-{\mu }_2{)}^2$。
  • 已知：
    • $V_1^{\prime }=\frac{{\sum }_{i=1}^{n_1}(X_i-{\mu }_1{)}^2}{{\sigma }_1^2}=\frac{n_1{\hat{\sigma }}_{1,\mu }^2}{{\sigma }_1^2}\sim {\chi }^2(k_1^{\prime })$，其中自由度 $k_1^{\prime }=n_1$。
    • $V_2^{\prime }=\frac{{\sum }_{j=1}^{n_2}(Y_j-{\mu }_2{)}^2}{{\sigma }_2^2}=\frac{n_2{\hat{\sigma }}_{2,\mu }^2}{{\sigma }_2^2}\sim {\chi }^2(k_2^{\prime })$，其中自由度 $k_2^{\prime }=n_2$。
  • $V_1^{\prime }$ 和 $V_2^{\prime }$ 相互独立。
• F 统计量构造： $F^{\prime }=\frac{V_1^{\prime }/k_1^{\prime }}{V_2^{\prime }/k_2^{\prime }}=\frac{\frac{n_1{\hat{\sigma }}_{1,\mu }^2}{{\sigma }_1^2}/n_1}{\frac{n_2{\hat{\sigma }}_{2,\mu }^2}{{\sigma }_2^2}/n_2}=\frac{{\hat{\sigma }}_{1,\mu }^2/{\sigma }_1^2}{{\hat{\sigma }}_{2,\mu }^2/{\sigma }_2^2}$ $F^{\prime }=\frac{{\hat{\sigma }}_{1,\mu }^2}{{\hat{\sigma }}_{2,\mu }^2}\cdot \frac{{\sigma }_2^2}{{\sigma }_1^2}$
• F 统计量分布：
  • $F^{\prime }\sim F(k_1^{\prime },k_2^{\prime })=F(n_1,n_2)$。
• 枢轴量：
  • $F^{\prime }=\frac{{\hat{\sigma }}_{1,\mu }^2/{\sigma }_1^2}{{\hat{\sigma }}_{2,\mu }^2/{\sigma }_2^2}$ 是一个合适的枢轴量。
• 置信区间推导：
  • 查找 F 分布的临界值 $F_{1-\alpha /2}(n_1,n_2)$ 和 $F_{\alpha /2}(n_1,n_2)$。
  • $P(F_{1-\alpha /2}(n_1,n_2)<F^{\prime }<F_{\alpha /2}(n_1,n_2))=1-\alpha$。
  • 代入 F’ 表达式并整理分离出 ${\sigma }_1^2/{\sigma }_2^2$。
• $1-\alpha$ 置信区间公式 (for ${\sigma }_1^2/{\sigma }_2^2$): $\left(\frac{{\hat{\sigma }}_{1,\mu }^2}{{\hat{\sigma }}_{2,\mu }^2}\cdot \frac{1}{F_{\alpha /2}(n_1,n_2)},\frac{{\hat{\sigma }}_{1,\mu }^2}{{\hat{\sigma }}_{2,\mu }^2}\cdot \frac{1}{F_{1-\alpha /2}(n_1,n_2)}\right)$
  • 利用 F 分布性质，区间也可写为： $\left(\frac{{\hat{\sigma }}_{1,\mu }^2}{{\hat{\sigma }}_{2,\mu }^2}\cdot \frac{1}{F_{\alpha /2}(n_1,n_2)},\frac{{\hat{\sigma }}_{1,\mu }^2}{{\hat{\sigma }}_{2,\mu }^2}\cdot F_{\alpha /2}(n_2,n_1)\right)$

四、 总结比较

特征	情况 1: 均值 ${\mu }_1,{\mu }_2$ 未知	情况 2: 均值 ${\mu }_1,{\mu }_2$ 已知
均值假设	未知	已知
F统计量中比率的分子	样本方差 $S_1^2$	基于已知均值的估计 ${\hat{\sigma }}_{1,\mu }^2$
F统计量中比率的分母	样本方差 $S_2^2$	基于已知均值的估计 ${\hat{\sigma }}_{2,\mu }^2$
分子自由度 ($k_1$)	$n_1-1$	$n_1$
分母自由度 ($k_2$)	$n_2-1$	$n_2$
F 分布自由度	$F(n_1-1,n_2-1)$	$F(n_1,n_2)$
区间计算依赖	$S_1^2,S_2^2,n_1,n_2$	$\sum (X_i-{\mu }_1{)}^2,\sum (Y_j-{\mu }_2{)}^2,n_1,n_2$

五、 知道均值的价值

• 主要区别在于 F 分布使用的自由度。当均值已知时，构造 F 统计量所依赖的两个（独立的）卡方分布的自由度分别为 $n_1$ 和 $n_2$；而当均值未知时，需要先估计均值，导致自由度损失，分别为 $n_1-1$ 和 $n_2-1$。
• 更高的自由度意味着使用了更多的样本信息。在均值已知的情况下，我们利用了 $n_1$ 和 $n_2$ 个完全独立的（关于 ${\sigma }_1^2$ 和 ${\sigma }_2^2$ 的）信息片段（即 $(X_i-{\mu }_1{)}^2$ 和 $(Y_j-{\mu }_2{)}^2$）。而在均值未知时，由于 $\sum (X_i-\bar{X})=0$ 和 $\sum (Y_j-\bar{Y})=0$ 的约束，我们实际上只利用了 $n_1-1$ 和 $n_2-1$ 个自由度的信息。
• 拥有更高的自由度通常使得 F 分布更加“集中”，这可能导致（虽然不保证区间宽度直接比较）基于更充分信息的、更精确的关于方差比 ${\sigma }_1^2/{\sigma }_2^2$ 的推断。
• 知道均值 ${\mu }_1,{\mu }_2$ 避免了使用样本均值 $\bar{X},\bar{Y}$ 带来的估计误差，使得对总体方差的衡量（离差平方和）是围绕真实的中心进行的。

总结:

知道总体均值 ${\mu }_1,{\mu }_2$ 允许我们在构造方差比 ${\sigma }_1^2/{\sigma }_2^2$ 的置信区间时，利用具有更高自由度 ($n_1,n_2$) 的 F 分布，而不是自由度为 ($n_1-1,n_2-1$) 的 F 分布。这代表了对样本信息的更充分利用，可能带来更精确的区间估计。然而，在实际应用中，总体均值通常是未知的，因此基于 $S_1^2,S_2^2$ 和 $F(n_1-1,n_2-1)$ 的方法是标准和更常用的。

(当前时间: Tuesday, April 29, 2025 at 8:24:05 AM PDT)