4. 方差比值的区间估计 (未知期望)

推论 6.3.3 (两个正态总体方差比的F分布性质)

• 设以下两个独立的随机变量 ^list
  • 总体 $X\sim N\left({\mu }_1,{\sigma }_1^2\right)$, $\left(X_1,X_2,\cdots ,X_m\right)$ 为其样本.
    • 样本均值为 $X$, 样本方差为 $S_{1m}^2$;
  • 总体 $Y\sim N\left({\mu }_2,{\sigma }_2^2\right)$, $\left(Y_1,Y_2,\cdots ,Y_m\right)$ 为其样本,
    • 样本均值为 $\bar{Y}$, 样本方差为 $S_{2m}^2$.

则

$$\frac{m{S}_{1m}^2}{n{S}_{2n}^2}\cdot \frac{{\sigma }_2^2}{{\sigma }_1^2}\cdot \frac{n-1}{m-1}=\frac{S_{1m}^{\ast 2}}{S_{2n}^{\ast 2}}\cdot \frac{{\sigma }_2^2}{{\sigma }_1^2}\sim F\left(m-1,n-1\right).\text{\hspace{1em}(6.3.15)}$$

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其中 $S_{1m}^{\ast 2}=\frac{m}{m-1}{S}_{1m}^2$, $S_{2n}^{\ast 2}=\frac{n}{n-1}{S}_{2n}^2$, 再令

$$P\left(F_{\frac{\alpha }{2}}\left(m-1,n-1\right)\le \frac{S_{1m}^{\ast 2}}{S_{2n}^{\ast 2}}\cdot \frac{{\sigma }_2^2}{{\sigma }_1^2}\le F_{1-\frac{\alpha }{2}}\left(m-1,n-1\right)\right)=1-\alpha ,$$

求分位点 $(F_{\frac{\alpha }{2}}\left(m-1,n-1\right)$ 和 $F_{1-\frac{\alpha }{2}}\left(m-1,n-1\right)$ 并作等式变形立得 ${\sigma }_1^2/{\sigma }_2^2$ 的区间估计为

$$\left[\frac{1}{F_{1-\frac{\alpha }{2}}\left(m-1,n-1\right)}\frac{S_{1m}^{\ast 2}}{S_{2n}^{\ast 2}},\frac{1}{F_{\frac{\alpha }{2}}\left(m-1,n-1\right)}\frac{S_{1m}^{\ast 2}}{S_{2n}^{\ast 2}}\right].\text{\hspace{1em}(7.3.12)}$$

我们将 7.3.1 节和 7.3.2 节的结果总结于表 7.1.

• 例 7.3.5 (例 7.3.4 改)
• 3.9
• 比较方差比 的区间估计（期望未知 vs 期望已知）