比较：方差的区间估计（已知期望 vs 未知期望）

构造总体方差 ${\sigma }^2$ 的 $1-\alpha$ 置信区间，关键在于找到一个合适的、其分布已知的枢轴量。使用的枢轴量以及其自由度取决于总体均值 $\mu$ 是否已知。

特征 / 方面	情况 1: 期望 $\mu$ 已知	情况 2: 期望 $\mu$ 未知
核心假设	总体 $N(\mu ,{\sigma }^2)$, $\mu$ 的值已知	总体 $N(\mu ,{\sigma }^2)$, $\mu$ 的值未知
用于构造枢轴量的统计量	${\sum }_{i=1}^n(X_i-\mu {)}^2$	$S^2=\frac{1}{n-1}{\sum }_{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2$
枢轴量 (Pivotal Quantity)	$G_1=\frac{{\sum }_{i=1}^n(X_i-\mu {)}^2}{{\sigma }^2}$	$G_2=\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}$
枢轴量的分布	卡方分布 (${\chi }^2$)	卡方分布 (${\chi }^2$)
分布的自由度 (df)	$n$	$n-1$
使用的临界值	${\chi }_{\alpha /2}^2(n)$ 和 ${\chi }_{1-\alpha /2}^2(n)$	${\chi }_{\alpha /2}^2(n-1)$ 和 ${\chi }_{1-\alpha /2}^2(n-1)$
置信区间公式 for ${\sigma }^2$	$(\frac{\sum (X_i-\mu {)}^2}{{\chi }_{\alpha /2}^2(n)},\frac{\sum (X_i-\mu {)}^2}{{\chi }_{1-\alpha /2}^2(n)})$	$(\frac{(n-1)S^2}{{\chi }_{\alpha /2}^2(n-1)},\frac{(n-1)S^2}{{\chi }_{1-\alpha /2}^2(n-1)})$
需要的样本信息	$X_1,...,X_n$ (以及已知的 $\mu$)	$S^2,n$ (或 $X_1,...,X_n$ 来计算 $S^2$)

关键区别分析：

1. 自由度 (Degrees of Freedom):

   • 当 $\mu$ 已知时，我们直接使用 $n$ 个离差 $(X_i-\mu )$ 来构造平方和 $\sum (X_i-\mu {)}^2$。这 $n$ 个离差包含了 $n$ 个独立的信息片段（假设 $X_i$ 独立）。因此，得到的卡方统计量 $G_1$ 具有 $n$ 个自由度。
   • 当 $\mu$ 未知时，我们必须先用样本均值 $\bar{X}$ 来估计 $\mu$，然后计算离差 $(X_i-\bar{X})$。然而，这些离差并非完全独立，它们受到一个约束条件 ${\sum }_{i=1}^n(X_i-\bar{X})=0$ 的限制。这个约束消耗掉了 1 个自由度。因此，基于 $S^2$（即 $\sum (X_i-\bar{X}{)}^2$）构造的卡方统计量 $G_2$ 只有 $n-1$ 个自由度。

2. 枢轴量中的分子 (Sum of Squares):

   • 当 $\mu$ 已知时，枢轴量的分子是 $\sum (X_i-\mu {)}^2$，即样本点围绕真实总体均值的离差平方和。
   • 当 $\mu$ 未知时，枢轴量的分子是 $(n-1)S^2=\sum (X_i-\bar{X}{)}^2$，即样本点围绕样本均值的离差平方和。
   • 一个重要的数学事实是：对于任何样本，${\sum }_{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2\le {\sum }_{i=1}^n(X_i-\mu {)}^2$ （仅当 $\bar{X}=\mu$ 时取等号）。样本均值 $\bar{X}$ 具有最小化离差平方和的性质。
   • 从期望来看，$E[{\sum }_{i=1}^n(X_i-\mu {)}^2]=n{\sigma }^2$，而 $E[{\sum }_{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2]=(n-1){\sigma }^2$。这也就是为什么 $S^2$ 的分母是 $n-1$ 以确保其无偏性。

3. 临界值和区间计算：

   • 由于自由度不同 ($n$ vs $n-1$)，在查找卡方分布的临界值 ${\chi }_{\alpha /2}^2$ 和 ${\chi }_{1-\alpha /2}^2$ 时会得到不同的数值。
   • 区间公式的分子结构也不同（一个是基于已知 $\mu$ 的平方和，一个是基于样本方差 $S^2$）。

知道期望 $\mu$ 如何对估计方差 ${\sigma }^2$ 产生帮助？

知道真实的总体期望 $\mu$ 对估计总体方差 ${\sigma }^2$ 提供了实质性的帮助：

1. 利用了更完整的信息： 当 $\mu$ 已知时，我们利用了关于总体中心的精确信息。计算离差 $(X_i-\mu )$ 时，我们是围绕着真实的中心来衡量波动的。而当 $\mu$ 未知时，我们使用的离差 $(X_i-\bar{X})$ 是围绕样本中心 $\bar{X}$ 的，$\bar{X}$ 本身就有抽样波动，这间接引入了由估计 $\mu$ 带来的不确定性。

2. 更高的自由度： 如上所述，已知 $\mu$ 使得相应的卡方统计量拥有 $n$ 个自由度，而未知 $\mu$ 时只有 $n-1$ 个自由度。拥有更高的自由度通常意味着统计推断基于更多的独立信息。${\chi }^2(n)$ 分布相比 ${\chi }^2(n-1)$ 分布包含的信息更多（因为它基于 $n$ 个平方项而非 $n-1$ 个）。

3. 更精确的估计基础： 虽然直接比较两个区间宽度比较复杂（因为卡方分布不对称，且区间是对方差 ${\sigma }^2$ 而非标准差 $\sigma$），但从点估计的角度看，当 $\mu$ 已知时，${\sigma }^2$ 的一个（有偏但均方误差通常更小）估计量是 ${\hat{\sigma }}_{\mu }^2=\frac{1}{n}\sum (X_i-\mu {)}^2$，其方差为 $Var({\hat{\sigma }}_{\mu }^2)=\frac{2{\sigma }^4}{n}$ (假设总体为正态)。而当 $\mu$ 未知时，无偏估计量 $S^2$ 的方差为 $Var(S^2)=\frac{2{\sigma }^4}{n-1}$。因为 $n>n-1$，所以 $Var({\hat{\sigma }}_{\mu }^2)<Var(S^2)$，这意味着基于已知 $\mu$ 的方差估计（即使调整为无偏）通常比基于未知 $\mu$ 的方差估计更稳定、波动更小。这种点估计上的精度优势，会体现在区间估计的过程中，尽管表现形式不是简单的区间宽度缩短。

总结:

知道总体期望 $\mu$ 相当于给方差估计提供了一个精确的“锚点”（即总体的中心）。这避免了因需要先估计 $\mu$ 而引入的不确定性和自由度损失。因此，基于已知 $\mu$ 的方差区间估计利用了 $n$ 个自由度的信息，而基于未知 $\mu$ 的估计只利用了 $n-1$ 个自由度的信息。这使得在 $\mu$ 已知的情况下，我们对方差 ${\sigma }^2$ 的推断是基于更充分的信息进行的。

(当前时间: Tuesday, April 29, 2025 at 6:49:45 AM PDT)