比较：期望的区间估计（已知方差 vs 未知方差）

我们比较在构造总体期望 $\mu$ 的 $1-\alpha$ 置信区间时，总体方差 ${\sigma }^2$ 已知和未知两种情况的主要区别。 基本假设是总体服从正态分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$，或者样本量 $n$ 足够大使中心极限定理适用（对于 t 分布，正态性假设在小样本时更重要）。

特征 / 方面	情况 1: ${\sigma }^2$ 已知	情况 2: ${\sigma }^2$ 未知
核心假设	${\sigma }^2$ (或 $\sigma$) 的值是已知的常数	${\sigma }^2$ (或 $\sigma$) 的值未知
使用的枢轴量	$Z=\frac{\bar{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}$	$T=\frac{\bar{X}-\mu }{S/\sqrt{n}}$
枢轴量的分布	标准正态分布 $N(0,1)$	t 分布 (自由度 $df=n-1$), $t(n-1)$
使用的临界值	$u_{1-\alpha /2}$ (来自 $N(0,1)$ 分布)	$t_{1-\alpha /2}(n-1)$ (来自 $t(n-1)$ 分布)
置信区间公式	$\bar{X}\pm u_{1-\alpha /2}\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$	$\bar{X}\pm t_{1-\alpha /2}(n-1)\frac{S}{\sqrt{n}}$
需要的样本信息	$\bar{X},n$ (以及已知的 $\sigma$)	$\bar{X},S,n$
区间半宽度 (误差限)	$E=u_{1-\alpha /2}\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$	$E=t_{1-\alpha /2}(n-1)\frac{S}{\sqrt{n}}$
区间总宽度	$W=2u_{1-\alpha /2}\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$	$W=2t_{1-\alpha /2}(n-1)\frac{S}{\sqrt{n}}$

关键区别分析：

1. 枢轴量与分布：

   • 当 $\sigma$ 已知时，标准误 $\sigma /\sqrt{n}$ 是一个确定的值（对于给定的 $\sigma$ 和 $n$），使得标准化后的统计量 $Z$ 精确服从 $N(0,1)$ 分布。
   • 当 $\sigma$ 未知时，我们用样本标准差 $S$ 替代 $\sigma$，得到标准误的估计值 $S/\sqrt{n}$。由于 $S$ 本身是随机变量（会随样本而变），它给统计量 $T$ 带来了额外的变异性。为了解释这种额外的不确定性，$T$ 服从尾部更厚的 t 分布，而不是 Z 分布。

2. 临界值：

   • 对于任何给定的置信水平 $1-\alpha$ 和样本量 $n$ ($n>1$, 故 $df=n-1\ge 1$)，t 分布的临界值总是大于标准正态分布的临界值： $t_{\alpha /2}(n-1)>z_{\alpha /2}$
   • 这种差异在样本量 $n$ 较小时尤其显著。随着 $n$ 增大 ($n\to \infty$)，$t_{\alpha /2}(n-1)$ 会趋近于 $z_{\alpha /2}$。
   • t 分布临界值更大，意味着为了达到相同的置信水平 $1-\alpha$，我们需要在均值 $\bar{X}$ 两侧留出更宽的范围，以弥补因使用 $S$ 估计 $\sigma$ 而增加的不确定性。

知道方差 ${\sigma }^2$ 如何对估计产生帮助？

知道真实的总体方差 ${\sigma }^2$ (或标准差 $\sigma$) 是一项宝贵的信息，它对期望 $\mu$ 的区间估计主要有以下帮助：

1. 提高估计精度 (得到更窄的置信区间):

   • 对比两个区间的半宽度（误差限 E）或总宽度 W。假设我们有两组数据，样本量 $n$ 和样本均值 $\bar{X}$ 都相同，并且碰巧计算出的样本标准差 $S$ 等于真实的 $\sigma$ (即 $S=\sigma$)。
   • 在这种理想情况下，由于 $t_{\alpha /2}(n-1)>z_{\alpha /2}$，必然有：
     • 宽度 (未知 $\sigma$): $W_T=2t_{\alpha /2}(n-1)\frac{S}{\sqrt{n}}=2t_{\alpha /2}(n-1)\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$
     • 宽度 (已知 $\sigma$): $W_Z=2z_{\alpha /2}\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$
     • $W_T>W_Z$。
   • 这意味着，在其他所有条件相同的情况下（相同的样本数据 $\bar{X},n$，相同的置信度 $1-\alpha$，甚至 $S$ 恰好等于 $\sigma$），知道 $\sigma$ 可以让我们使用 Z 分布，得到一个 更窄 的置信区间。
   • 更窄的区间意味着对 $\mu$ 的估计更加精确。我们能够以相同的置信度，将 $\mu$ 的可能范围锁定在一个更小的区间内。

2. 减少不确定性来源：

   • 当 $\sigma$ 未知时，区间估计的不确定性有两个来源：
     • 一是样本均值 $\bar{X}$ 相对于总体均值 $\mu$ 的抽样误差；
     • 二是样本标准差 $S$ 相对于总体标准差 $\sigma$ 的估计误差。t 分布正是同时考虑了这两种不确定性。
   • 当 $\sigma$ 已知时，第二个不确定性来源被消除了。我们不再需要担心 $S$ 对 $\sigma$ 的估计是否准确，只需关注 $\bar{X}$ 对 $\mu$ 的抽样误差即可。这使得我们可以使用更“集中”的标准正态分布 Z。

总结:

知道总体方差 ${\sigma }^2$ 相当于掌握了关于总体分布变异程度的精确信息。这消除了估计 ${\sigma }^2$ 所带来的不确定性，允许我们使用临界值更小的 Z 分布来构建置信区间。其最终结果是，对于相同的样本数据和置信水平，可以获得一个更窄、更精确的关于总体期望 $\mu$ 的估计范围。因此，在能够合理假设或通过先验知识得知 ${\sigma }^2$ 的情况下，优先使用基于 Z 分布的方法会得到更优（更精确）的估计结果。然而，在实践中，${\sigma }^2$ 未知的情况更为普遍，使用 t 分布是更常用且更符合实际的方法。