例 8.2.3 涤纶纤度方差是否正常的检验 (卡方检验)

某涤纶厂生产的涤纶的纤度 (纤维的粗细程度) 在正常生产条件下, 服从正态分布 $N\left(1.405,{0.048}^2\right)$. 某日随机地抽取 5 根纤维,测得纤度如下:

$\begin{array}{lllll}1.32& 1.55& 1.36& 1.40& 1.44\end{array}$

试问这一天生产的涤纶的纤度的方差是否正常 (取显著性水平 $\alpha =0.05$ ).

解

依题意,这是一个单个正态总体方差的假设检验问题,其中 ${\mu }_0=1.405$ 已知.

按题目的要求, 应将原假设 $H_0$ 和备选假设 $H_1$ 提为

$$H_0:{\sigma }^2={0.048}^2,H_1:{\sigma }^2\ne {0.048}^2.$$

由

表 8.2 单个正态总体方差的假设检验的拒绝域

单个正态总体方差 ${\sigma }^2$ 的假设检验的拒绝域 (显著性水平为 $\alpha$ )

序号	$H_0$	$H_1$	$\mu$ 已知	$\mu$ 未知
I	${\sigma }^2={\sigma }_0^2$	${\sigma }^2\ne {\sigma }_0^2$	$\frac{\sum _{i=1}^n{\left(x_i-\mu \right)}^2}{{\sigma }_0^2}\le {\chi }_{\frac{\alpha }{2}}^2\left(n\right)$ 或 $\frac{\sum _{i=1}^n{\left(x_i-\mu \right)}^2}{{\sigma }_0^2}\ge {\chi }_{1-\alpha }^2\left(n\right)$	$\frac{\sum _{i=1}^n{\left(x_i-\bar{x}\right)}^2}{{\sigma }_0^2}\le {\chi }_{\alpha /2}^2\left(n-1\right)$ 或 $\frac{\sum _{i=1}^n{\left(x_i-\bar{x}\right)}^2}{{\sigma }_0^2}\ge {\chi }_{1-\alpha /2}^2\left(n-1\right)$
II	${\sigma }^2={\sigma }_0^2$	${\sigma }^2>{\sigma }_0^2$	$\frac{\sum _{i=1}^n{\left(x_i-\mu \right)}^2}{{\sigma }_0^2}\ge {\chi }_{1-\alpha }^2\left(n\right)$	$\frac{\sum _{i=1}^n{\left(x_i-\bar{x}\right)}^2}{{\sigma }_0^2}\ge {\chi }_{1-\alpha }^2\left(n-1\right)$
III	${\sigma }^2\le {\sigma }_0^2$	${\sigma }^2>{\sigma }_0^2$	同 II	同 II
IV	${\sigma }^2={\sigma }_0^2$	${\sigma }^2<{\sigma }_0^2$	$\frac{\sum _{i=1}^n{\left(x_i-\mu \right)}^2}{{\sigma }_0^2}\le \lambda$	$\frac{\sum _{i=1}^n{\left(x_i-\bar{x}\right)}^2}{{\sigma }_0^2}\le {\chi }_{\alpha }^2\left(n-1\right)$
V	${\sigma }^2\ge {\sigma }_0^2$	${\sigma }^2<{\sigma }_0^2$	同 IV	同 IV

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的第一行, 选取统计量为

$$Z=\frac{\sum _{i=1}^n{\left(X_i-{\mu }_0\right)}^2}{{\sigma }_0^2}\sim {\chi }^2\left(n\right).$$

令 $P\left({\chi }_{0.025}^2\left(5\right)\le Z\le {\chi }_{0.975}^2\left(5\right)\right)=0.05$,查 ${\chi }^2$ 分布表或用 $\mathrm{R}$ 软件计算得 ${\chi }_{0.025}^2\left(5\right)=0.831$ 和 ${\chi }_{0.975}^2\left(5\right)=12.833$.

经计算

$$\begin{array}{rl}Z& =\frac{1}{{0.048}^2}[{\left(1.32-1.405\right)}^2+{\left(1.55-1.405\right)}^2+{\left(1.36-1.405\right)}^2+\\ & {\left(1.40-1.405\right)}^2+{\left(1.44-1.405\right)}^2]=13.683\text{.}\end{array}$$

由于 $Z=13.683>{\chi }_{0.975}^2\left(5\right)=12.833$,所以拒绝 $H_0$, 即在显著性水平 $\alpha =0.05$ 下, 这一天生产的涤纶的纤度的方差不正常.

代码

另外,请读者执行如下 $\mathrm{R}$ 程序,看有什么结果.

x←c(1.32,1.55,1.36,1.40,1.44)

mu0←1.405; sigma0←0.048

alpha←0.05

z←sum((x-mu0^2)/sigma0

list(x2=z, chi.value=c(qchisq(alpha/2, length(x)),

qchisq(1-alpha/2, length(x)))