例 8.2.4 涤纶纤度方差检验 (总体均值未知)

数据与总体假设同例 8.2.3 涤纶纤度方差是否正常的检验 (卡方检验), 但 $μ$ 未知. 试问这一天生产的涤纶的纤度的方差是否正常 (取显著性水平 $α = 0.05$ ).

解

依题意,这是一个单个正态总体方差的假设检验问题,其中 $μ$ 未知.

按题目的要求, 提出

H_{0} : σ^{2} = 0.048^{2}, H_{1} : σ^{2} \neq = 0.048^{2} .

由

表 8.2 单个正态总体方差的假设检验的拒绝域
单个正态总体方差 $σ^{2}$ 的假设检验的拒绝域 (显著性水平为 $α$ )

序号 $H_{0}$ $H_{1}$ $μ$ 已知 $μ$ 未知
I $σ^{2} = σ_{0}^{2}$ $σ^{2} \neq = σ_{0}^{2}$ $\frac{i = 1 \sum n ( x _{i} - μ ) ^{2}}{σ _{0}^{2}} \leq χ_{\frac{α}{2}}^{2} (n)$ 或 $\frac{i = 1 \sum n ( x _{i} - μ ) ^{2}}{σ _{0}^{2}} \geq χ_{1 - α}^{2} (n)$ $\frac{i = 1 \sum n ( x _{i} - x ˉ ) ^{2}}{σ _{0}^{2}} \leq χ_{α /2}^{2} (n - 1)$ 或 $\frac{i = 1 \sum n ( x _{i} - x ˉ ) ^{2}}{σ _{0}^{2}} \geq χ_{1 - α /2}^{2} (n - 1)$
II $σ^{2} = σ_{0}^{2}$ $σ^{2} > σ_{0}^{2}$ $\frac{i = 1 \sum n ( x _{i} - μ ) ^{2}}{σ _{0}^{2}} \geq χ_{1 - α}^{2} (n)$ $\frac{i = 1 \sum n ( x _{i} - x ˉ ) ^{2}}{σ _{0}^{2}} \geq χ_{1 - α}^{2} (n - 1)$
III $σ^{2} \leq σ_{0}^{2}$ $σ^{2} > σ_{0}^{2}$ 同 II 同 II
IV $σ^{2} = σ_{0}^{2}$ $σ^{2} < σ_{0}^{2}$ $\frac{i = 1 \sum n ( x _{i} - μ ) ^{2}}{σ _{0}^{2}} \leq λ$ $\frac{i = 1 \sum n ( x _{i} - x ˉ ) ^{2}}{σ _{0}^{2}} \leq χ_{α}^{2} (n - 1)$
V $σ^{2} \geq σ_{0}^{2}$ $σ^{2} < σ_{0}^{2}$ 同 IV 同 IV
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序号	$H_{0}$	$H_{1}$	$μ$ 已知	$μ$ 未知
I	$σ^{2} = σ_{0}^{2}$	$σ^{2} \neq = σ_{0}^{2}$	$\frac{i = 1 \sum n ( x _{i} - μ ) ^{2}}{σ _{0}^{2}} \leq χ_{\frac{α}{2}}^{2} (n)$ 或 $\frac{i = 1 \sum n ( x _{i} - μ ) ^{2}}{σ _{0}^{2}} \geq χ_{1 - α}^{2} (n)$	$\frac{i = 1 \sum n ( x _{i} - x ˉ ) ^{2}}{σ _{0}^{2}} \leq χ_{α /2}^{2} (n - 1)$ 或 $\frac{i = 1 \sum n ( x _{i} - x ˉ ) ^{2}}{σ _{0}^{2}} \geq χ_{1 - α /2}^{2} (n - 1)$
II	$σ^{2} = σ_{0}^{2}$	$σ^{2} > σ_{0}^{2}$	$\frac{i = 1 \sum n ( x _{i} - μ ) ^{2}}{σ _{0}^{2}} \geq χ_{1 - α}^{2} (n)$	$\frac{i = 1 \sum n ( x _{i} - x ˉ ) ^{2}}{σ _{0}^{2}} \geq χ_{1 - α}^{2} (n - 1)$
III	$σ^{2} \leq σ_{0}^{2}$	$σ^{2} > σ_{0}^{2}$	同 II	同 II
IV	$σ^{2} = σ_{0}^{2}$	$σ^{2} < σ_{0}^{2}$	$\frac{i = 1 \sum n ( x _{i} - μ ) ^{2}}{σ _{0}^{2}} \leq λ$	$\frac{i = 1 \sum n ( x _{i} - x ˉ ) ^{2}}{σ _{0}^{2}} \leq χ_{α}^{2} (n - 1)$
V	$σ^{2} \geq σ_{0}^{2}$	$σ^{2} < σ_{0}^{2}$	同 IV	同 IV

的第一行, 选取统计量为

Z = \frac{i = 1 \sum n ( X _{i} - X ˉ ) ^{2}}{0.048 ^{2}} \sim χ^{2} (4) .

令 $P (χ_{0.025}^{2} (4) \leq Z \leq χ_{0.975}^{2} (4)) = 0.05$ 查 $χ^{2}$ 分布表或用 $R$ 软件计算得 $χ_{0.025}^{2} (4) = 0.484$ 和 $χ_{0.975}^{2} (4) = 11.143$ .

经计算

\overset{ˉ}{X} = \frac{1}{5} (1.32 + 1.55 + 1.36 + 1.40 + 1.44) = 1.414,

Z = \frac{1}{0.048 ^{2}} [(1.32 - 1.414)^{2} + (1.55 - 1.414)^{2} + (1.36 - 1.414)^{2} + (1.40 - 1.414)^{2} + (1.44 - 1.414)^{2}] = 13.51 .

由于 $Z = 13.51 > χ_{0.975}^{2} (4) = 11.143$ ,所以拒绝 $H_{0}$ ,即在显著性水平 $α = 0.05$ 下, 这一天生产的涤纶的纤度的方差不正常.

代码

另外,请读者执行如下 $R$ 程序,看有什么结果.

x<-c(1.32,1.55,1.36,1.40,1.44)

sigma0<-0.048

alpha<-0.05

z<-sum((x-mean(x))^2)/sigma0^2

list(x2=z, chi.value=c(qchisq(alpha/2, length(x)-1),

qchisq(1-alpha/2, length(x)-1)))

Youliang Zhong

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例 8.2.4 涤纶纤度方差检验 (总体均值未知)

解

表 8.2 单个正态总体方差的假设检验的拒绝域

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