例 8.2.5 两正态总体均值差的显著性检验

设甲、乙两厂生产的灯泡的寿命分别服从正态分布 $N\left({\mu }_1,{84}^2\right)$ 和 $N\left({\mu }_2,{96}^2\right)$. 现从两厂生产的灯泡中各取 60 只, 测得甲厂生产的灯泡的平均寿命为 $\bar{x}=1295$ 小时, 乙厂生产的灯泡的平均寿命为 $\bar{y}=1230$ 小时.

试问在显著性水平 $\alpha =0.05$ 下能否认为甲、乙两厂生产的灯泡的寿命没有显著差异?

解

依题意,这是两个正态总体均值之差的假设检验问题, 其中 ${\sigma }_1^2={84}^2$ 和 ${\sigma }_2^2={96}^2$ 已知, 样本容量 $m=n=60$.

按题目的要求, 提出

$$H_0:{\mu }_1-{\mu }_2=0,H_1:{\mu }_1-{\mu }_2\ne 0.$$

由

表 8.3 两个独立正态总体均值差的假设检验的拒绝域

两个独立正态总体均值差的假设检验的拒绝域 (显著性水平为 $\alpha$ )

序号	$H_0$	$H_1$	${\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2$ 已知	${\sigma }_1^2={\sigma }_2^2$ 未知
I	${\mu }_1-{\mu }_2=\delta$	${\mu }_1-{\mu }_2\ne \delta$	$\frac{|\left(\bar{x}-\bar{y}\right)-\delta |}{\sqrt{\frac{{\sigma }_1^2}{m}+\frac{{\sigma }_2^2}{n}}}\ge u_{1-\frac{\alpha }{2}}$	$\frac{|\left(\bar{x}-\bar{y}\right)-\delta |}{S_w\sqrt{\frac{1}{m}+\frac{1}{n}}}\ge t_{1-\frac{\alpha }{2}}\left(m+n-2\right)$
II	${\mu }_1-{\mu }_2=\delta$	${\mu }_1-{\mu }_2>\delta$	$\frac{\left(\bar{x}-\bar{y}\right)-\delta }{\sqrt{\frac{{\sigma }_1^2}{m}+\frac{{\sigma }_2^2}{n}}}\ge u_{1-\alpha }$	$\frac{\left(\bar{x}-\bar{y}\right)-\delta }{S_w\sqrt{\frac{1}{m}+\frac{1}{n}}}\ge t_{1-\alpha }\left(m+n-2\right)$
III	${\mu }_1-{\mu }_2\le \delta$	${\mu }_1-{\mu }_2>\delta$	同 II	同 II
IV	${\mu }_1-{\mu }_2=\delta$	${\mu }_1-{\mu }_2<\delta$	$\frac{\left(\bar{x}-\bar{y}\right)-\delta }{\sqrt{\frac{{\sigma }_1^2}{m}+\frac{{\sigma }_2^2}{n}}}\le u_{\alpha }$	$\frac{\left(\bar{x}-\bar{y}\right)-\delta }{S_w\sqrt{\frac{1}{m}+\frac{1}{n}}}\le t_{\alpha }\left(m+n-2\right)$
V	${\mu }_1-{\mu }_2\ge \delta$	${\mu }_1-{\mu }_2<\delta$	同 IV	同 IV

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的第一行, 选取统计量为

$$U=\frac{\bar{X}-\bar{Y}-0}{\sqrt{\frac{{84}^2}{60}+\frac{{96}^2}{60}}}\sim N\left(0,1\right).$$

令 $P\left(\left|U\right|\le u_{0.975}\right)=0.05$, 查正态分布表或用 $\mathrm{R}$ 软件计算得 $u_{0.975}=1.96$. 经计算

$$U=\frac{\bar{x}-\bar{y}-0}{\sqrt{\frac{{84}^2}{60}+\frac{{96}^2}{60}}}=\frac{1295-1230}{\sqrt{\frac{{84}^2}{60}+\frac{{96}^2}{60}}}=3.95.$$

由于 $\left|U\right|=3.95>u_{0.975}=1.96$, 所以拒绝 $H_0$, 即在显著性水平 $\alpha =0.05$ 下认为甲、乙两厂生产的灯泡的平均寿命有显著差异.

代码

另外,请读者执行如下 $\mathrm{R}$ 程序,看有什么结果.

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x.bar←1295; y.bar←1230

sigma1←84; sigma2←96

$\mathrm{m}=60;\mathrm{n}<-60$

alpha<-0.05

	u<-(x.bar-y.bar)/sqrt(sigma1^2/m+sigma2^2/n)

	list(abs.U=abs(u), u.value=qnorm(1-alpha/2))

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