例 8.2.6 两正态总体均值差的t检验 (方差相等)

某卷烟厂生产两种卷烟, 现分别对两种香烟的尼古丁含量作 6 次测量, 结果为

甲厂: $\begin{array}{llllll}25& 28& 23& 26& 29& 22\end{array}$

乙厂: 28 23 30 35 21 27

若两种香烟的尼古丁含量都服从正态分布, 且方差相等.

试问在显著性水平 $\alpha =0.05$ 下能否认为两种香烟的尼古丁含量没有显著差异?

解

依题意,这是两个正态总体均值之差的假设检验问题,其中 ${\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2$ 未知,样本容量 $m=n=6$.

按题目的要求, 提出

$$H_0:{\mu }_1-{\mu }_2=0,H_1:{\mu }_1-{\mu }_2\ne 0.$$

由

表 8.3 两个独立正态总体均值差的假设检验的拒绝域

两个独立正态总体均值差的假设检验的拒绝域 (显著性水平为 $\alpha$ )

序号	$H_0$	$H_1$	${\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2$ 已知	${\sigma }_1^2={\sigma }_2^2$ 未知
I	${\mu }_1-{\mu }_2=\delta$	${\mu }_1-{\mu }_2\ne \delta$	$\frac{|\left(\bar{x}-\bar{y}\right)-\delta |}{\sqrt{\frac{{\sigma }_1^2}{m}+\frac{{\sigma }_2^2}{n}}}\ge u_{1-\frac{\alpha }{2}}$	$\frac{|\left(\bar{x}-\bar{y}\right)-\delta |}{S_w\sqrt{\frac{1}{m}+\frac{1}{n}}}\ge t_{1-\frac{\alpha }{2}}\left(m+n-2\right)$
II	${\mu }_1-{\mu }_2=\delta$	${\mu }_1-{\mu }_2>\delta$	$\frac{\left(\bar{x}-\bar{y}\right)-\delta }{\sqrt{\frac{{\sigma }_1^2}{m}+\frac{{\sigma }_2^2}{n}}}\ge u_{1-\alpha }$	$\frac{\left(\bar{x}-\bar{y}\right)-\delta }{S_w\sqrt{\frac{1}{m}+\frac{1}{n}}}\ge t_{1-\alpha }\left(m+n-2\right)$
III	${\mu }_1-{\mu }_2\le \delta$	${\mu }_1-{\mu }_2>\delta$	同 II	同 II
IV	${\mu }_1-{\mu }_2=\delta$	${\mu }_1-{\mu }_2<\delta$	$\frac{\left(\bar{x}-\bar{y}\right)-\delta }{\sqrt{\frac{{\sigma }_1^2}{m}+\frac{{\sigma }_2^2}{n}}}\le u_{\alpha }$	$\frac{\left(\bar{x}-\bar{y}\right)-\delta }{S_w\sqrt{\frac{1}{m}+\frac{1}{n}}}\le t_{\alpha }\left(m+n-2\right)$
V	${\mu }_1-{\mu }_2\ge \delta$	${\mu }_1-{\mu }_2<\delta$	同 IV	同 IV

Link to original

的第一行, 选取统计量为

$$T=\frac{\left(\bar{X}-\bar{Y}\right)-0}{S_w\sqrt{\frac{1}{m}+\frac{1}{n}}}\sim t\left(6+6-2\right).$$

令 $P\left(\left|T\right|\le t_{0.975}\left(10\right)\right)=0.05$,查 $t$ 分布表或用 $\mathrm{R}$ 软件计算得 $t_{0.975}\left(10\right)=$ 2.2281.

经计算

$$T=\frac{\left(\bar{x}-\bar{y}\right)-0}{s_w\sqrt{\frac{1}{m}+\frac{1}{n}}}=-0.7726.$$

由于 $\left|T\right|=0.7726<t_{0.975}\left(10\right)=2.2281$,所以接受 $H_0$,即在显著性水平 $\alpha =0.05$ 下认为甲、乙两厂生产的灯泡的寿命没有显著差异.

代码

另外,请读者执行如下 $\mathrm{R}$ 程序,看有什么结果.

$\mathrm{x}<-\mathrm{c}\left(25,28,23,26,29,22\right);\mathrm{y}<-\mathrm{c}\left(28,23,30,35,21,27\right)$

alpha←0.05

t.test(x, y, var.equal=TRUE, conf.level=1-alpha)