题型 1 利用性质求概率

3.1

设随机事件 $A,B$ 及其和事件 $A\cup B$ 的概率分别是 0.4, 0.3, 0.6. 若 $\bar{B}$ 表示 $B$ 的对立事件,那么积事件 $A\overline{B}$ 的概率 $P\left(A\overline{B}\right)=$ _____.

解

因为 $A\bar{B}=A\left(\Omega -B\right)=A-AB$,

所以 $P\left(A\bar{B}\right)=P\left(A-AB\right)=P\left(A\right)-P\left(AB\right)=P\left(A\cup B\right)-P\left(B\right)=0.6-0.3=0.3$.

点评

充分运用减法公式的各种变形. 特别注意以下方法在解决此类问题中的应用.

设 $A,B$ 是任意两个随机事件, $A-B=A-AB=A\left(\Omega -B\right)=A\bar{B}$. 事实上, 这是一个很容易理解的变形, 不妨按下列方式理解: $A-B$ 表示事件“ $A$ 发生 $B$ 不发生”, $A-AB$ 表示事件“在 $A$ 发生的事件中除掉 $AB$ 一起发生的事件”, $A\bar{B}$ 表示事件“ $A$ 发生 $B$ 不发生”, 很明显这三个事件是一样的.

3.2

设 $A,B$ 为随机事件, $P\left(A\right)=0.7$, $P\left(A-B\right)=0.3$,则 $P\left(\overline{AB}\right)=$ _____.

解

先求 $\overline{AB}$ 的对立事件 $AB$ 发生的概率 $P\left(AB\right)$.

由题意

$$P\left(A-B\right)=P\left(A-AB\right)=P\left(A\right)-P\left(AB\right)=0.3$$

则

$$P\left(AB\right)=P\left(A\right)-0.3=0.7-0.3=0.4$$

那么

$$P\left(\overline{AB}\right)=1-P\left(AB\right)=1-0.4=0.6$$

3.3

已知 $P\left(A\right)=P\left(B\right)=P\left(C\right)=\frac{1}{4},P\left(AB\right)=0,P\left(AC\right)=P\left(BC\right)=\frac{1}{6}$,则事件 $A,B,C$ 全不发生的概率为_____.

分析

应用摩根律, 加法法则, 对立事件的概念.

解

因为 $P\left(AB\right)=0$, 所以 $P\left(ABC\right)=0$.

$P\left(\bar{A}\bar{B}\bar{C}\right)=P\left(\overline{A\cup B\cup C}\right)=1-P\left(A\cup B\cup C\right)$

$=1-\left[P\left(A\right)+P\left(B\right)+P\left(C\right)-P\left(AB\right)-P\left(AC\right)-P\left(BC\right)+P\left(ABC\right)\right]$

$=1-\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-0-\frac{1}{6}-\frac{1}{6}+0\right)=\frac{7}{12}$.

3.4

设当事件 $A$ 与 $B$ 同时发生时,事件 $C$ 必发生,则( ).

(A) $P\left(C\right)\le P\left(A\right)+P\left(B\right)-1$ (B) $P\left(C\right)\ge P\left(A\right)+P\left(B\right)-1$ (C) $P\left(C\right)=P\left(AB\right)$ (D) $P\left(C\right)=P\left(A\cup B\right)$

解

由题意“当 $A,B$ 发生时, $C$ 必然发生” 从而 $AB\subset C$,所以 $P\left(AB\right)\le P\left(C\right)$,那么

$$P\left(C\right)\ge P\left(AB\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cup B\right)\ge P\left(A\right)+P\left(B\right)-1$$

故应选 (B).

点评

此题考查概率“单调性”,即若 $A\subset B$ 是两个随机事件,则

$$0\le P\left(A\right)\le P\left(B\right)\le 1$$

事实上, 因为 $A\subset B$,所以 $B-A$ 与 $A$ 互不相容, 并且满足 $B=\left(B-A\right)+A$, 由概率的非负性和加法公式得

$$P\left(B\right)=P\left(B-A\right)+P\left(A\right)$$

从而 $0\le P\left(A\right)\le P\left(B\right)$.

3.5

设 $A,B$ 是任意两个随机事件,则 $P\left\{\left(\bar{A}+B\right)\left(A+B\right)\left(\bar{A}+\bar{B}\right)\left(A+\bar{B}\right)\right\}=$ _____.

解

注意到

$$\left(A+B\right)\left(\bar{A}+\bar{B}\right)=A\left(\bar{A}+\bar{B}\right)+B\left(\bar{A}+\bar{B}\right)=A\bar{B}+\bar{A}B$$ $$\left(\bar{A}+B\right)\left(A+\bar{B}\right)=\bar{A}\left(A+\bar{B}\right)+B\left(A+\bar{B}\right)=\bar{A}\bar{B}+AB$$

那么

$$\left(\bar{A}+B\right)\left(A+B\right)\left(\bar{A}+\bar{B}\right)\left(A+\bar{B}\right)=\left(A\bar{B}+\bar{A}B\right)\left(\bar{A}\bar{B}+AB\right)=\varnothing$$

则

$$P\left\{\left(\bar{A}+B\right)\left(A+B\right)\left(\bar{A}+\bar{B}\right)\left(A+\bar{B}\right)\right\}=P\left(\varnothing \right)=0.$$

点评

在有关事件运算或者是化简的问题中, 要学会熟练应用事件的运算法则.