题型 2 几何概率

方法与技巧

根据题意建立正确的几何概型往往是解题的关键, 另外, 几何概率的计算中往往需要利用定积分及重积分求面积或体积, 因此要求考生对微积分知识要熟悉.

2.7

在区间 $\left(0,1\right)$ 中随机地取两个数,则这两个数之差的绝对值小于 $\frac{1}{2}$ 的概率为_____.

图 1-2.7

解

设 $x,y$ 为所取的两个数,则 $0<x<1,0<y<1,x,y$ 所有可能取值结果对应的集合记为 $S$,事件“两个数之差的绝对值小于 $\frac{1}{2}$ ” 记为 $A$. 则样本空间 $S=\{\left(x,y\right)\mid 0<x<1,0<y<1\}$, 事件 $A=\left\{\left(x,y\right)\left|\left(x,y\right)\in S,\right|x-y\mid <\frac{1}{2}\right\}$ (如图 1-2.7 中阴影部分),故

$$P\left(A\right)=\frac{\Omega \left(A\right)}{\Omega \left(S\right)}=\frac{3/4}{1}=\frac{3}{4}.$$

其中, $\Omega \left(A\right)$ 与 $\Omega \left(S\right)$ 分别表示 $A$ 与 $S$ 的面积.

2.8

有一根长 $l$ 的木棒,任意折成三段,恰好能构成一个三角形的概率为_____.

图 1-2.8

解

设折得的三段长度为 $x,y$ 和 $l-x-y$,那么,样本空间 $\Omega =\{\left(x,y\right)\mid 0\le x\le l,0\le y\le l,0\le x+y\le l\}$,而随机事件 $A$ : “三段构成三角形” 相应的子区域 $G$ 应满足 “两边之和大于第三边” 的原则, 从而

$$\{\begin{array}{l}l-x-y<x+y\\ x<\left(l-x-y\right)+y\\ y<\left(l-x-y\right)+x\end{array}$$

即 $G=\left\{\left(x,y\right)\mid 0<x<\frac{l}{2},0<y<\frac{l}{2},\frac{l}{2}<x+y<l\right\}$.

从图 1-2.8 中可以得到相应的几何概率: $P\left(A\right)=\frac{1}{4}$.