题型 2 条件概率的计算

方法与技巧

计算条件概率 $P\left(B\mid A\right)$ 的方法有两种:

1. 按条件概率的含义, 直接求出 $P\left(B\mid A\right)$. 注意到, 在求 $P\left(B\mid A\right)$ 时已知 $A$ 已发生, 样本空间 $S$ 中所有不属于 $A$ 的样本点都被排除, 原有的样本空间 $S$ 缩减成为 $S^{\prime }$. 在 $S^{\prime }$ 中计算事件 $B$ 的概率就得到 $P\left(B\mid A\right)$.
2. 在 $S$ 中计算 $P\left(AB\right)$ 及 $P\left(A\right)$, 再按 $\frac{P\left(AB\right)}{P\left(A\right)}$ 式求得 $P\left(B\mid A\right)$.

3.6

设 $A,B,C$ 是随机事件, $A$ 与 $C$ 互不相容, $P\left(AB\right)=\frac{1}{2},P\left(C\right)=\frac{1}{3}$,则 $P\left(AB\mid \bar{C}\right)=$ _____.

解

由条件概率的定义, $P\left(AB\mid \bar{C}\right)=\frac{P\left(AB\bar{C}\right)}{P\left(\bar{C}\right)}$,因为 $A,C$ 互不相容,

所以 $A\bar{C}=A$,因此 $P\left(AB\bar{C}\right)=P\left(AB\right)$,从而原式 $=\frac{P\left(AB\right)}{1-P\left(C\right)}=\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{3}}=\frac{3}{4}$.

另外,除了用互斥定义得到 $P\left(AB\bar{C}\right)=P\left(AB\right)$,还可以用性质一一减法公式:

$$P\left(AB\bar{C}\right)=P\left(AB\right)-P\left(ABC\right),$$

由

$$P\left(AC\right)=0\Rightarrow P\left(ABC\right)=0,$$

从而

$$P\left(AB\bar{C}\right)=P\left(AB\right)\text{.}$$

3.7

设某种动物由出生算起活 20 年以上的概率为 0.8, 活 25 年以上的概率为 0.4. 如果现在有一只 20 岁的这种动物, 问它能活到 25 岁以上的概率是多少?

解

设事件 $B=$ “能活 20 年以上”, $A=$ “能活 25 年以上”.

按题意, $P\left(B\right)=0.8$,由于 $A\subset B$,所以 $BA=A$,因此 $P\left(AB\right)=P\left(A\right)=0.4$.

由条件概率的定义,得 $P\left(A\mid B\right)=\frac{P\left(AB\right)}{P\left(B\right)}=\frac{0.4}{0.8}=0.5$.

3.8

设 $A,B$ 为两个随机事件,且 $0<P\left(A\right)<1,0<P\left(B\right)<1$,如果 $P\left(A\mid B\right)=1$,则_____.

(A) $P\left(\bar{B}\mid \bar{A}\right)=1$. (B) $P\left(A\mid \bar{B}\right)=0$. (C) $P\left(A\cup B\right)=1$. (D) $P\left(B\mid A\right)=1$.

解

因为 $P\left(A\mid B\right)=\frac{P\left(AB\right)}{P\left(B\right)}=1$,所以 $P\left(AB\right)=P\left(B\right)$

则 $P\left(\bar{B}\mid \bar{A}\right)=\frac{P\left(\bar{A}\mid \bar{B}\right)}{P\left(\bar{A}\right)}=\frac{1-P\left(A\cup B\right)}{1-P\left(A\right)}$

$=\frac{1-\left[P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(AB\right)\right]}{1-P\left(A\right)}$

$=\frac{1-P\left(A\right)}{1-P\left(A\right)}=1.$

故应选(A).