1.3.1 条件概率

对于一个随机试验, 基本事件空间为 $\Omega$, 事件 $A$ 的概率 $P\left(A\right)$ 是在 $\Omega$ 的每个基本事件都可能发生的前提下, $A$ 事件发生的可能性的大小. 如果预先知道, 每次试验中事件 $B$ 一定发生, 那么一次试验中, 事件 $A$ 出现的概率就称为事件 $B$ 发生的条件下事件 $A$ 发生的条件概率, 记为 $P\left(A\mid B\right)$.

例子 (扑克牌)

对于一般的随机试验, 以下条件概率的定义是合理的.

定义 1.3.1 (条件概率)

设 $\left(\Omega ,\mathcal{F},P\right)$ 为概率空间, $A,B\in \mathcal{F}$, 且 $P\left(B\right)>0$, 则定义

$$P\left(A\mid B\right)=\frac{P\left(AB\right)}{P\left(B\right)}\text{\hspace{1em}(1.3.1)}$$

为 $B$ 发生的条件下 $A$ 发生的条件概率.

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Remark

定义 1.3.1 中要求 $P\left(B\right)>0$, 是因为 (1.3.1) 中的分母不能为零. 这一要求从概率意义上讲并不苛刻, 因为若事件 $B$ 发生的可能性为零, 在此条件下任意事件 $A$ 发生的 (条件) 概率也应为零. 另外, 从一般理论分析的角度讲, 可通过引入 “条件数学期望” 的一般定义, 涵盖 $P\left(B\right)=0$ 的情形, 这已超出本书的知识范围.

显然, 若取定 $B\in \mathcal{F}$ 且 $P\left(B\right)>0$, 对任意事件 $A\in \mathcal{F}$, 定义

$$P_B\left(A\right)=P\left(A\mid B\right),\forall A\in \mathcal{F},$$

则 $P_B$ 仍为 $\left(\Omega ,\mathcal{F}\right)$ 上的概率测度, 亦即 $\left(\Omega ,\mathcal{F},P_B\right)$ 也是概率空间. 这一点, 留给读者根据 定义 1.2.5 (概率测度) 去验证.

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