3.9

100 件产品中有 10 件次品, 用不放回的方式从中每次取一件, 连取三次, 求第三次才取得次品的概率.

解

设 $A_{i}$ 表示第 $i$ 次取得正品,其中 $i = 1, 2, 3$ .

由题意,所求概率应为 $P (A_{1} A_{2} \overset{ˉ}{A}_{3})$ ,根据乘法公式,

P (A_{1} A_{2} \overset{ˉ}{A}_{3}) = P (A_{1}) P (A_{2} ∣ A_{1}) P (\overset{ˉ}{A}_{3} ∣ A_{1} A_{2}) = \frac{90}{100} \cdot \frac{89}{99} \cdot \frac{10}{98} = 0.0826

甲袋中装有 9 个乒乓球,其中 3 个白球, 6 个黄球, 乙袋中也装有 9 个乒乓球, 5 个白球, 4 个黄球. 首先从甲袋中任选一球放入乙袋, 再从乙袋中任取一球放入甲袋, 则甲袋中白球数目不会发生变化的概率为_____.

令

那么 $A = BC + \overset{ˉ}{B} \overset{ˉ}{C}$

P (A) = P (BC + \overset{ˉ}{B} \overset{ˉ}{C}) = P (BC) + P (\overset{ˉ}{B} \overset{ˉ}{C}) = P (B) P (C ∣ B) + P (\overset{ˉ}{B}) P (\overset{ˉ}{C} ∣ \overset{ˉ}{B}) = \frac{3}{9} \times \frac{6}{10} + \frac{6}{9} \times \frac{5}{10} = \frac{8}{15}

袋中有 $a$ 个白球 $b$ 个黑球,随机取出一个球,然后放回,并同时再放进与取出的球同色的球 $c$ 个,再取第二个,这样连续三次. 问取出的三个球中前两个是黑球,第三个是白球的概率是多少?

设 $A_{i}$ 表示取出的第 $i$ 个球为白球,则所求的概率为

P (\overset{ˉ}{A}_{1} \overset{ˉ}{A}_{2} A_{3}) = P (\overset{ˉ}{A}_{1} \overset{ˉ}{A}_{2}) (A_{3} ∣ \overset{ˉ}{A}_{1} \overset{ˉ}{A}_{2}) = P (\overset{ˉ}{A}_{1}) P (\overset{ˉ}{A}_{2} ∣ \overset{ˉ}{A}_{1}) P (A_{3} ∣ \overset{ˉ}{A}_{1} \overset{ˉ}{A}_{2}) = \frac{b}{a + b} \cdot \frac{b + c}{a + b + c} \cdot \frac{a}{a + b + 2 c}