题型2 独立性的应用

5.5

三人独立地去破译一份密码, 已知各人能译出的概率分别为 $\frac{1}{5},\frac{1}{3},\frac{1}{4}$, 问三人中至少有一个能将此密码译出的概率是多少?

解法一

设 $A,B,C$ 分别表示三人各自能够译出密码,根据题意 $A,B,C$ 相互独立,且

$$P\left(A\right)=\frac{1}{5},P\left(B\right)=\frac{1}{3},P\left(C\right)=\frac{1}{4}$$

则所求概率为

$$\begin{array}{rl}P\left(A\cup B\cup C\right)& =P(A)+P(B)+P(C)\\ & -P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)\\ & =P(A)+P(B)+P(C)\\ & -P(A)P(B)-P(A)P(C)-P(B)P(C)\\ & +P(A)P(B)P(C)\\ & =\frac{1}{5}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\\ & -\frac{1}{5}\times \frac{1}{3}-\frac{1}{5}\times \frac{1}{4}-\frac{1}{3}\times \frac{1}{4}\\ & +\frac{1}{5}\times \frac{1}{3}\times \frac{1}{4}\\ & =0.6\end{array}$$

解法二

$$\begin{array}{rl}P\left(A\cup B\cup C\right)& =1-P\left(\overline{A\cup B\cup C}\right)\\ & =1-P\left(\bar{A}\bar{B}\bar{C}\right)\\ & =1-P(\bar{A})P(\bar{B})P(\bar{C})\\ & =1-\frac{4}{5}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{3}{4}\\ & =\frac{3}{5}\end{array}$$

5.6

一实习生用一台机器接连独立地制造 3 个同种零件,第 $i$ 个零件是不合格品的概率 $p_i=\frac{1}{1+i}\left(i=1,2,3\right),$ 以 $X$ 表示 3 个零件中合格品的个数, 求 $P\{X=2\}$.

解

设 $A_i$ 表示第 $i$ 个零件是不合格品,则

$$\begin{array}{rl}P(A_i)& =p_i=\frac{1}{i+1}(i=1,2,3)\\ P\{X=2\}& =P\left(A_1{\bar{A}}_2{\bar{A}}_3+{\bar{A}}_1{A}_2{\bar{A}}_3+{\bar{A}}_1{\bar{A}}_2{A}_3\right)\\ & =P(A_1)P({\bar{A}}_2)P({\bar{A}}_3)\\ & +P({\bar{A}}_1)P(A_2)P({\bar{A}}_3)\\ & +P({\bar{A}}_1)P({\bar{A}}_2)P(A_3)\\ & =\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{3}\right)\left(1-\frac{1}{4}\right)\\ & +\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}\cdot \left(1-\frac{1}{4}\right)\\ & +\frac{1}{2}\cdot \left(1-\frac{1}{3}\right)\cdot \frac{1}{4}\\ & =\frac{11}{24}\end{array}$$

5.7

人的血型为 $O,A,B,AB$ 型的概率分别为0.46, 0.40, 0.11, 0.03, 今任意挑选五人, 求下列事件的概率:

(1) 恰有两人为 $O$ 型; (2) 三人为 $O$ 型,二人为 $A$ 型； (3) 没有 $AB$ 型.

解

本题可利用独立性解决, 其中 (1)、(3) 可视为伯努利概型.

(1)两人为 $O$ 型,三人为非 $O$ 型,其中每人为 $O$ 型的概率为 0.46,为非 $O$ 型的概率为 1-0.46 $=0.54$.

故 $p_1=C_5^2\cdot {\left(0.46\right)}^2\cdot {\left(0.54\right)}^3=0.333$.

(2)三人为 $O$ 型,二人为 $A$ 型,共有 $C_5^3$ 种情形,

故 $p_2=C_5^3\cdot {\left(0.46\right)}^3\cdot {\left(0.4\right)}^2=0.156$.

(3)没有 $AB$ 型,即五人都非 $AB$ 型,而每个人非 $AB$ 型的概率为 $1-0.03=0.97$,

故 $p_3={\left(0.97\right)}^5=0.859$.

5.8

设随机事件 $A$ 与 $B$ 相互独立,且 $P\left(B\right)=0.5$, $P\left(A-B\right)=0.3$, 则 $P\left(B-A\right)=$ ( )

(A) 0.1. (B) 0.2. (C) 0.3. (D) 0.4.

解

$$\begin{array}{rl}P(A-B)& =P(A)-P(AB)\\ & =P(A)-P(A)P(B)\\ & =P(A)-0.5P(A)\end{array}$$

得 $P\left(A\right)=0.6$,

则

$$\begin{array}{rl}P(B-A)& =P(B)-P(AB)\\ & =P(B)-P(A)P(B)\\ & =0.2\end{array}$$

故应选 B.

点评

本题也可以利用独立的性质:

当 $A$ 与 $B$ 相互独立时, $A$ 与 $\bar{B}$ 、 $\bar{A}$ 与 $B$ 也相互独立.

则 $P\left(A-B\right)=P\left(A\bar{B}\right)=P\left(A\right)P\left(\bar{B}\right)$,可求出 $P\left(A\right)$.

同理 $P\left(B-A\right)=P\left(B\bar{A}\right)=P\left(B\right)P\left(\bar{A}\right)$,从而得到结论.

5.9

设两个相互独立的事件 $A$ 和 $B$ 都不发生的概率为 $\frac{1}{9},A$ 发生 $B$ 不发生的概率与 $B$ 发生 $A$ 不发生的概率相等,则 $P\left(A\right)=$ _____.

解

只需计算 $P\left(\bar{A}\right)$,注意到 $A,B$ 相互独立, $P\left(A\bar{B}\right)=P\left(\bar{A}B\right),P\left(\bar{A}\bar{B}\right)=\frac{1}{9}$,显然 $P\left(A\right)$ $=P\left(AB\right)+P\left(A\bar{B}\right)=P\left(AB\right)+P\left(\bar{A}B\right)=P\left(B\right)$,那么 $P\left(\bar{A}\right)=P\left(\bar{B}\right)$,又 $\bar{A}$ 与 $\bar{B}$ 相互独立,则

$$\frac{1}{9}=P\left(\bar{A}\bar{B}\right)=P\left(\bar{A}\right)P\left(\bar{B}\right)={\left[P\left(\bar{A}\right)\right]}^2,$$

即

$$P\left(\bar{A}\right)=\frac{1}{3},P\left(A\right)=\frac{2}{3}.$$

点评

本题也可直接使用独立的性质, $\bar{A}$ 与 $\bar{B}\text{、}A$ 与 $\bar{B}\text{、}\bar{A}$ 与 $B$ 都独立,则得到

$$P\left(\bar{A}\bar{B}\right)=P\left(\bar{A}\right)P\left(\bar{B}\right)$$ $$P\left(A\bar{B}\right)=P\left(A\right)P\left(\bar{B}\right)$$ $$P\left(\bar{A}B\right)=P\left(\bar{A}\right)P\left(B\right)$$

方法更加简便.