题型 3 关于重要分布

3.9

设 $X\sim N\left(3,2^2\right)$

1. 求 $P\{2<X\le 5\}$, $P\{-4<X\le 10\}$, $P\{\left|X\right|>2\}$, $P\{X>$ 3};
2. 确定 $c$ 使得 $P\{X>c\}=P\{X\le c\}$;
3. 设 $d$ 满足 $P\{X>d\}\ge 0.9$, 问 $d$ 至多为多少？

解

当 $X\sim N\left(3,2^2\right)$ 时,

$$\frac{X-\mu }{\sigma }=\frac{X-3}{2}\sim N\left(0,1\right).$$

1

$$\begin{array}{rl}P\{2<X\le 5\}& =P\left\{\frac{2-3}{2}<\frac{X-3}{2}\le \frac{5-3}{2}\right\}\\ & =\Phi (1)-\Phi \left(-\frac{1}{2}\right)\\ & =\Phi (1)-\left(1-\Phi \left(\frac{1}{2}\right)\right)\\ & =0.8413-1+0.6915\\ & =\mathrm{0.5328.}\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}P\{-4<X\le 10\}& =P\left\{\frac{-4-3}{2}<\frac{X-3}{2}\le \frac{10-3}{2}\right\}\\ & =\Phi \left(\frac{7}{2}\right)-\Phi \left(-\frac{7}{2}\right)\\ & =2\Phi \left(\frac{7}{2}\right)-1\\ & =\mathrm{0.9996.}\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}P\{|X|>2\}& =P\{X>2\text{ 或 }X<-2\}\\ & =P\{X>2\}+P\{X<-2\}\\ & =1-P\{X\le 2\}+P\{X<-2\}\\ & =1-P\left\{\frac{X-3}{2}\le \frac{2-3}{2}\right\}+P\left\{\frac{X-3}{2}<\frac{-2-3}{2}\right\}\\ & =1-\Phi \left(-\frac{1}{2}\right)+\Phi \left(-\frac{5}{2}\right)\\ & =\mathrm{0.6977.}\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}P\{X>3\}& =1-P\{X\le 3\}\\ & =1-P\left\{\frac{X-3}{2}\le \frac{3-3}{2}\right\}\\ & =1-\Phi (0)\\ & =1-0.5\\ & =\mathrm{0.5.}\end{array}$$

2

由 $P\{X>c\}=P\{X\le c\}$, 则 $1-P\{X\le c\}=P\{X\le c\}$

$P\{X\le c\}=P\left\{\frac{X-3}{2}\le \frac{c-3}{2}\right\}=\Phi \left(\frac{c-3}{2}\right)=\frac{1}{2}$

查表得 $\frac{c-3}{2}=0$,故 $c=3$.

3

$$\begin{array}{rl}P\{X>d\}& =1-P\{X\le d\}\\ & =1-P\left\{\frac{X-3}{2}\le \frac{d-3}{2}\right\}\\ & =1-\Phi \left(\frac{d-3}{2}\right)\\ & \ge \mathrm{0.9.}\end{array}$$

则 $\Phi \left(\frac{d-3}{2}\right)\le 0.1$,所以 $\frac{d-3}{2}<0$. 那么 $\Phi \left(\frac{3-d}{2}\right)\ge 0.9$

查标准正态分布表知 $\Phi \left(1.29\right)=0.9015$,取 $\frac{3-d}{2}\ge 1.29$,得到 $d\le 0.42$.

3.10

设随机变量 $X$ 服从正态分布 $N\left(\mu ,{\sigma }^2\right)$,则随 $\sigma$ 的增大,概率 $P\left\{\left|X-\mu \right|<\sigma \right\}$ ( ).

(A) 单调增加 (B) 单调减少 (C) 保持不变 (D) 非单调变化

解

$$\begin{array}{rl}P\{|X-\mu |<\sigma \}& =P\left\{\left|\frac{X-\mu }{\sigma }\right|<1\right\}\\ & =\Phi (1)-\Phi (-1).\end{array}$$

可见概率 $P\{\left|X-\mu \right|<\sigma \}$ 不随 $\sigma$ 的增大而改变.

故应选(C)

点评

对于正态分布的题型,普通正态分布化成标准正态分布,往往是解决问题的关键,以上两例说明了这一点.

3.11

若随机变量 $Y$ 在 $\left(1,6\right)$ 上服从均匀分布,则方程 $x^2+Yx+1=0$ 有实根的概率是 _____.

解

从二次代数方程存在实根的判定条件得出 $Y$ 的变化范围,再由 $Y$ 的分布确定此事件的概率.

方程 $x^2+Yx+1=0$ 有实根的条件是: $\Delta =Y^2-4\ge 0$,即 $Y\ge 2$ 或 $Y\le -2$

由于 $Y$ 服从 $\left(1,6\right)$ 均匀分布,故 $Y$ 的密度函数为

$$f_Y\left(y\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{5},& 1<y<6,\\ 0,& y\ge 6\text{ 或 }y\le \end{array}$$

所以, $P\left\{x^2+Yx+1=0\text{有实根}\right\}=P\{Y\ge 2\}+P\{Y\le -2\}=\frac{4}{5}$.

故应填 $\frac{4}{5}$.

3.12

设顾客在某银行的窗口等待服务的时间 $X$ (以分计) 服从指数分布,其概率密度为

$$f_X\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{5}{\mathrm{e}}^{-\frac{x}{5}},& x>0\\ 0,& \text{ 其他 }\end{array}$$

某顾客在窗口等待服务,若超过 10 分钟,他就离开. 他一个月要到银行 5 次,以 $Y$ 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数,写出 $Y$ 的分布律,并求 $P\{Y\ge 1\}$.

解

该顾客在窗口未等到服务而离开的概率为

$$p=P\{X>10\}={\int }_{10}^{+\infty }{f}_X\left(x\right)\mathrm{d}x={\int }_{10}^{+\infty }\frac{1}{5}{\mathrm{e}}^{-\frac{x}{5}}\mathrm{d}x=-{{\mathrm{e}}^{-\frac{x}{5}}|}_{10}^{+\infty }={\mathrm{e}}^{-2}$$

显然 $Y\sim B\left(5,{\mathrm{e}}^{-2}\right)$,故

$$P\{Y=k\}=C_5^k{\mathrm{e}}^{-2k}{\left(1-{\mathrm{e}}^{-2}\right)}^{5-k},k=0,1,2,3,4,5$$ $$P\{Y\ge 1\}=1-P\{Y=0\}=1-{\left(1-{\mathrm{e}}^{-2}\right)}^5=0.5167.$$

3.13

由某机器生产的螺栓的长度 $\left(\mathrm{cm}\right)$ 服从参数为 $\mu =10.05,\sigma =0.06$ 的正态分布,规定长度在 $10.05\pm 0.12$ 内为合格. 求一螺栓为不合格品的概率.

解

设螺栓的长度为 $X$,则 $X\sim N\left(10.05,{0.06}^2\right)$,则一螺栓为不合格品的概率为

$$p=1-P\{10.05-0.12<X<10.05+0.12\}$$ $$=1-\Phi \left(\frac{10.17-10.05}{0.06}\right)+\Phi \left(\frac{10.05-0.12-10.05}{0.06}\right)$$ $$=1-\Phi \left(2\right)-\Phi \left(-2\right)=2-2\Phi \left(2\right)=0.0455\text{.}$$

3.14

一工厂生产的电子管的寿命 $X$ (以小时计) 服从参数为 $\mu =160,\sigma$ 的正态分布,若要求 $P\{120<X\le 200\}\ge 0.80$,允许 $\sigma$ 最大为多少?

解

若要求 $P\{120<X\le 200\}\ge 0.80$,即

$$\Phi \left(\frac{200-160}{\sigma }\right)-\Phi \left(\frac{120-160}{\sigma }\right)=\Phi \left(\frac{40}{\sigma }\right)-\Phi \left(-\frac{40}{\sigma }\right)=2\Phi \left(\frac{40}{\sigma }\right)-1\ge 0.80$$ $$\Phi \left(\frac{40}{\sigma }\right)\ge 0.9$$

从而 $\frac{40}{\sigma }\ge 1.28,\sigma \le 31.25$,即允许 $\sigma$ 最大为 31.25.

3.15

设 $X_1,X_2,X_3$ 是随机变量,且 $X_1\sim N\left(0,1\right)$, $X_2\sim N\left(0,2^2\right)$, $X_3\sim N\left(5,3^2\right)$, $p_i=P\left\{-2\le X_i\le 2\right\}\left(i=1,2,3\right)$,则( )

(A) $p_1>p_2>p_3$ (B) $p_2>p_1>p_3$ (C) $p_3>p_1>p_2$ (D) $p_1>p_3>p_2$

解

将所求的概率 $p_i$ 用标准正态分布 $N\left(0,1\right)$ 的分布函数 $\Phi \left(x\right)$ 表示出来,再通过 $\Phi \left(x\right)$ 的几何意义求解.

由题意可得$$ \begin{align} p_1 &= P{-2 \leq X_1 \leq 2} \ &= \Phi(2) - \Phi(-2) \ &= 2\Phi(2) - 1. \end{align}

\begin{align} p_2 &= P\left{ -2 \leq X_2 \leq 2 \right} \ &= P\left{ \frac{-2 - 0}{2} \leq \frac{X_2 - 0}{2} \leq \frac{2 - 0}{2} \right} \ &= \Phi(1) - \Phi(-1) \ &= 2\Phi(1) - 1. \end{align}

\begin{align} p_3 &= P\left{ -2 \leq X_3 \leq 2 \right} \ &= P\left{ \frac{-2 - 5}{3} \leq \frac{X_3 - 5}{3} \leq \frac{2 - 5}{3} \right} \ &= \Phi(-1) - \Phi\left( -\frac{7}{3} \right) \ &= \Phi\left( \frac{7}{3} \right) - \Phi(1). \end{align}

由下图 2-3.15 可知, ${p}_{1} > {p}_{2} > {p}_{3}$, 图 2-3.15  故应选(A).