题型 5 关于常见分布

2.10

设随机变量 $X$ 服从参数为 $\left(2,p\right)$ 的二项分布, 随机变量 $Y$ 服从参数为 $\left(3,p\right)$ 的二项分布, 若 $P\{X\ge 1\}=\frac{5}{9}$, 则 $P\{Y\ge 1\}=$ _____.

解

$\frac{5}{9}=P\{X\ge 1\}=1-P\{X<1\}=1-C_2^0{p}^0{\left(1-p\right)}^2=1-{\left(1-p\right)}^2$

得 $\left(1-p\right)=\frac{2}{3}$

则 $P\{Y\ge 1\}=1-P\{Y<1\}=1-C_3^0{p}^0{\left(1-p\right)}^3=1-{\left(\frac{2}{3}\right)}^3=\frac{19}{27}$

故应填 $\frac{19}{27}$.

2.11

随机变量 $X$ 服从泊松分布, 并且已知 $P\{X=1\}=P\{X=2\}$, 则 $P\{X=4\}=$ _____.

解

由题设, $X$ 的分布律为:

$$P\{X=k\}=\frac{{\lambda }^k}{k!}{\mathrm{e}}^{-\lambda },k=0,1,2,\cdots$$

本题的关键为先要求出参数 $\lambda$ 的值. 由 $P\{X=1\}=P\{X=2\}$ 得

$$\lambda {\mathrm{e}}^{-\lambda }=\frac{{\lambda }^2}{2}{\mathrm{e}}^{-\lambda }\text{ 即 }{\lambda }^2-2\lambda =0.$$

因为 $\lambda >0$,得 $\lambda =2$. 于是

$$P\{X=4\}=\frac{2^4}{4!}{\mathrm{e}}^{-2}=\frac{2}{3}{\mathrm{e}}^{-2}\approx 0.0902.$$

故应填 $\frac{2}{3}{\mathrm{e}}^{-2}$.

2.12

设某批电子元件的正品率为 $\frac{4}{5}$, 次品率为 $\frac{1}{5}$, 现对这批元件进行测试, 只要测得一个正品就停止测试工作, 则测试次数的分布律是_____.

解

设测试次数为 $X$,则 $X$ 的可能值为 $1,2,3,\cdots$. 当 $X=k$ 时,相当于“前 $k-1$ 次测到的都是次品,而第 $k$ 次测到的是正品”, 故

$$P\{X=k\}={\left(\frac{1}{5}\right)}^{k-1}\left(\frac{4}{5}\right)\left(k=1,2,\cdots \right)$$

点评

本题中 $X$ 服从几何分布,几何分布的实际背景是重复独立试验下首次成功的概率, 它可作为描述“独立射击,首次击中时的射击次数”；“有放回地抽取产品,首次抽到次品时的抽取次数” 等概率分布的数学模型.

2.13

有一批产品共 20 件,其中次品 3 件. 现从中任取 4 件(不放回抽样),求其中次品数 $X$ 的分布律; 其中次品数不多于 2 件的概率有多大?

解

共有 20 个元素, 分为两类 (次品与正品), 其中第一类元素 (次品) 有 3 个. 现从中任取 4 个元素,则其中第一类元素数 $X$ 为服从超几何分布的随机变量. 故 $X$ 的分布律为:

$$P\{X=k\}=\frac{C_3^k{C}_{17}^{4-k}}{C_{20}^4}k=0,1,2,3$$

用表格可表示为

$X$	0	1	2	3
$p_k$	$\frac{28}{57}$	$\frac{8}{19}$	$\frac{8}{95}$	$\frac{1}{285}$

其中次品数不多于 2 件的概率为

$$P\{X\le 2\}=P\{X=0\}+P\{X=1\}+P\{X=2\}\approx 0.996.$$

点评

可以证明,当 $N\to +\infty$ 时,超几何分布以二项分布为极限,即当 $N$ 充分大, $n$ 相对较小时, $X$ 近似服从 $B\left(n,\frac{M}{N}\right)$.

2.14

一电话交换台每分钟收到呼唤的次数服从参数为 4 的泊松分布,求

(1) 某一分钟恰有 8 次呼唤的概率；

(2) 某一分钟的呼唤次数大于 3 的概率.

解

用 $X$ 表示每分钟收到呼唤的次数. 则

$$P\{X=k\}=\frac{4^k}{k!}{\mathrm{e}}^{-4},k=0,1,2,\cdots$$

(1) $P\{X=8\}=\frac{4^8}{8!}{\mathrm{e}}^{-4}=0.0298$

(2) $P\{X>3\}=\sum _{k=4}^{\infty }\frac{4^k}{k!}{\mathrm{e}}^{-4}=0.5665$

2.15

一大楼装有 5 个同类型的供水设备,调查表明在任一时刻 $t$ 每个设备被使用的概率为 0.1, 问在同一时刻:

(1) 恰有 2 个设备被使用的概率是多少?

(2) 至少有 3 个设备被使用的概率是多少？

(3) 至多有 3 个设备被使用的概率是多少？

(4) 至少有 1 个设备被使用的概率是多少?

解

设被使用的设备数为 $X$,则 $X\sim B\left(5,0.1\right)$,故

(1) $P\{X=2\}=C_5^2{\left(0.1\right)}^2{\left(0.9\right)}^3=0.0729$

(2) $P\{X\ge 3\}=\sum _{k=3}^5{C}_5^k{\left(0.1\right)}^k{\left(0.9\right)}^{5-k}=0.00856$

(3) $P\{X\le 3\}=\sum _{k=0}^3{C}_5^k{\left(0.1\right)}^k{\left(0.9\right)}^{5-k}=0.99954$

(4) $P\{X\ge 1\}=1-C_5^0{\left(0.1\right)}^0{\left(0.9\right)}^5=1-{\left(0.9\right)}^5=0.40951$

2.16

有甲、乙两种味道和颜色都极为相似的名酒各 4 杯. 如果从中挑 4 杯, 能将甲种酒全部挑出来, 算是试验成功一次.

1. 某人随机地去猜, 问他试验成功一次的概率是多少？
2. 某人声称他通过品尝能区分两种酒. 他连续试验 10 次,成功 3 次. 试推断他是猜对的,还是确有区分的能力 (设各次试验是相互独立的).

解

1

随机试验是从 8 杯酒中任选 4 杯, 从而样本空间的样本点数总数为 $C_8^4$, 故试验成功一次的概率为 $p=\frac{1}{C_8^4}=\frac{1}{70}$.

2

连续试验 10 次, 成功 3 次, 如果他是猜对的, 则猜对的次数 $X\sim B\left(10,\frac{1}{70}\right)$, 猜对 3 次的概率为

$$P\{X=3\}=C_{10}^3{\left(\frac{1}{70}\right)}^3{\left(\frac{69}{70}\right)}^7\approx \frac{{\left(\frac{1}{7}\right)}^3}{3!}{\mathrm{e}}^{-\frac{1}{7}}\approx 3\times {10}^{-4},$$

这个概率很小, 根据实际推断原理, 可以认为他确有区分能力.