2.2.1 二项分布

定义 (二项分布, binomial distribution)

如果一个随机变量 $X$ 取值为 $0,1,2,\cdots ,n$, 且

$$P\left(X=k\right)=\left(\begin{array}{l}n\\ k\end{array}\right)p^k{\left(1-p\right)}^{n-k},k=0,1,2,\cdots ,n,\text{\hspace{1em}(2.2.3)}$$

我们称 $X$ 服从二项分布. 记为 $X\sim B\left(n,p\right)$ ( $\mathrm{R}$ 软件中的分布名为 binom), 其中的 $n$ 和 $p\left(0\le p\le 1\right)$ 称为参数.

如果 $n=1$, 则 $X$ 只取 0 和 1 两个值, 我们称 $X$ 服从两点分布. 当 $n=1$ 时,

• 如果 $p=0$, 则 $P\left(X=0\right)=1$;
• 如果 $p=1$, 则 $P\left(X=1\right)=1$.

这两种情况都退化为单点分布 (即 $X$ 取某个常数 $C$ 的概率为 1 ), 取值已没有随机性了.

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另外, 显然有 $P\left(X=k\right)\ge 0$, 且由二项式定理有

$$\sum _{k=0}^{n}P\left(X=k\right)=\sum _{k=0}^n\left(\begin{array}{l}n\\ k\end{array}\right)p^k{\left(1-p\right)}^{n-k}={\left[p+\left(1-p\right)\right]}^n=1.$$

可见 (2.2.3) 给出的分布确实为概率分布. 正是因为 $\left(\begin{array}{l}n\\ k\end{array}\right)p^k{\left(1-p\right)}^{n-k}$ 是 $[px+$ $\left(1-p\right){]}^n$ 这个二项式展开中 $x^k$ 的系数, 我们称(2.2.3) 给出的分布为二项分布.

现实中有不少随机试验, 其观测结果都服从二项分布.

伯努利试验服从二项分布

回忆 $n$ 重伯努利试验, 如果每次试验 “成功” 的概率为 $p$, 令 $X$ 为 $n$ 次试验中成功的次数, 则由 (1.3.8) 知, $X\sim B\left(n,p\right)$, 且 $P\left(X=k\right)=b\left(k;n,p\right)$. 另外, 由 例 1.3.8 (有放回抽取产品的事件概率) 知, 若一批产品的不合格品率为 $p$, 则从中无放回抽取的 $n$ 件中不合格品的件数, 也服从 $B\left(n,p\right)$.

当 $X\sim B\left(n,p\right)$ 时, 对任意 $a<b$, 有

$$P\left(a\le X\le b\right)=\sum _{a\le k\le b}b\left(k;n,p\right)=\sum _{a\le k\le b}\left(\begin{array}{l}n\\ k\end{array}\right)p^k{\left(1-p\right)}^{n-k}$$

和

$$P\left(X\le b\right)=\sum _{k\le b}b\left(k;n,p\right)=\sum _{k\le b}\left(\begin{array}{l}n\\ k\end{array}\right)p^k{\left(1-p\right)}^{n-k}.$$

利用 $\mathrm{R}$ 软件提供的内部函数 binom, 容易计算相关事件的概率. 对 $X\sim$ $B\left(n,p\right)$, 可调用内部函数 $\mathrm{pbinom}\left(\mathrm{x},\mathrm{n},\mathrm{p}\right)$ 来计算 $P\left(X\le x\right)$, 用 $\mathrm{dbinom}\left(\mathrm{k},\mathrm{n},\mathrm{p}\right)$ 来计算 $P\left(X=k\right)$.

python 绘制二项分布

请读者注意这两个函数中 $\mathrm{p}$ 和 $\mathrm{d}$ 的区别.

• 例 2.2.1 (B(10,0,9))
• 例 2.2.2 (导弹命中概率)

定理 2.2.1 (伯努利分布的最大概率)

设 $X\sim B\left(n,p\right)$,

• 当 $\left(n+1\right)p$ 为整数 $m$ 时, $X$ 取 $m$ 和 $m-1$ 的概率最大, 且 $b\left(m;n,p\right)=b\left(m-1;n,p\right)$;
• 当 $\left(n+1\right)p$ 不为整数时, $X$ 取 $\left(n+1\right)n$ 的整数部分的概率最大.

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这个定理的证明, 可经计算比值 $\frac{b\left(k;n,p\right)}{b\left(k-1;n,p\right)}$ 随 $k$ 变化的情况得证, 这里略去. 但请读者调用内部函数 $\mathrm{dbinom}\left(\mathrm{k},\mathrm{n},\mathrm{p}\right)$, 通过给定参数 $n$ 和 $p$ 体验一下该事头.

• 例 2.2.3 (鱼塘中有多少条鱼)
• 2.16