题型2 概率密度与分布函数的转化以及求概率

3.4

设连续型随机变量 $X$ 的分布函数为

$$F\left(x\right)=\{\begin{array}{cc}0,& x<0\\ A{x}^2& 0\le x<1\\ 1,& x\ge 1\end{array}$$

求 (1) 常数 $A$; $\left(2\right)X$ 落在 $\left(-1,\frac{1}{2}\right)$ 及 $\left(\frac{1}{3},2\right)$ 内的概率； ( 3 ) $X$ 的概率密度.

分析

求解分布函数未知参数时要用到分布函数的性质. 由已知分布函数来求概率密度时要对分布函数求导, 其中若分布函数为分段函数, 概率密度也要分区间考虑.

解

(1) 由 $F\left(x\right)$ 的连续性,可知

$$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }F\left(x\right)=F\left(1\right)\text{,则}\underset{x\to 1^{-}}{\lim }A{x}^2=1\text{,可得}A=1\text{,}$$

那么分布函数 $F\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}0,& x<0\\ x^2& 0\le x<1\\ 1,& x\ge 1\end{array}$

(2)由于 $X$ 落在 $\left(-1,\frac{1}{2}\right)$ 内,则

$$P\left\{-1<X<\frac{1}{2}\right\}=F\left(\frac{1}{2}\right)-F\left(-1\right)={\left(\frac{1}{2}\right)}^2-0=\frac{1}{4}$$

同理可知

$$P\left\{\frac{1}{3}<X<2\right\}=F\left(2\right)-F\left(\frac{1}{3}\right)=1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^2=\frac{8}{9}.$$

(3) 因为 $f\left(x\right)=F^{\prime }\left(x\right)$

当 $0\le x<1$ 时, $f\left(x\right)={\left(x^2\right)}^{\prime }=2x$; 其他情况时, $f\left(x\right)=0$.

所以 $f\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}2x,& 0\le x<1\\ 0,& \text{ 其他 }\end{array}$

3.5

设随机变量 $X$ 的概率密度 $f\left(x\right)$ 满足

• $f\left(1+x\right)=f\left(1-x\right)$,
• ${\int }_0^{2}f\left(x\right)\mathrm{d}x=0.6$,

则 $P\{X<0\}=$ ( )

(A) 0.2. (B) 0.3. (C) 0.4. (D) 0.5.

解

本题中的概率密度是抽象的, 只给出了一个已知积分, 如果用常规的积分方法求概率较为繁琐, 而利用概率密度的几何意义结合图形求概率非常简便.

图 2-3.5

已知 $f\left(1+x\right)=f\left(1-x\right)$,可得 $f\left(x\right)$

关于 $x=1$ 对称,如图 2-3.5

由 ${\int }_0^{2}f\left(x\right)\mathrm{d}x=0.6$,可知 $P\{X<0\}=0.2$.

3.6

设随机变量 $X$ 的概率密度为

$$f\left(x\right)=\{\begin{array}{cc}kx+1,& 0\le x<2\\ 0,& \text{ 其他 }\end{array}$$

求 (1) k 值; (2) $X$ 的分布函数； (3) $P\{1<X<2\}$.

解

(1)由概率密度性质 ${\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left(x\right)\mathrm{d}x={\int }_0^2\left(kx+1\right)\mathrm{d}x=2k+2=1$,得 $k=-\frac{1}{2}$;

(2)因为 $F\left(x\right)={\int }_{-\infty }^{x}f\left(t\right)\mathrm{d}t$,所以当 $x<0$ 时, $F\left(x\right)={\int }_{-\infty }^{x}0\mathrm{d}t=0$;

当 $0\le x<2$ 时, $F\left(x\right)={\int }_{-\infty }^{0}0\mathrm{d}t+{\int }_0^x\left(-\frac{1}{2}t+1\right)\mathrm{d}t=-\frac{1}{4}{x}^2+x$;

当 $x\ge 2$ 时, $F\left(x\right)={\int }_{-\infty }^{0}0\mathrm{d}t+{\int }_0^2\left(-\frac{1}{2}t+1\right)\mathrm{d}t+{\int }_2^{x}0\mathrm{d}t=1$.

故 $X$ 的分布函数

$$F\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}0,& x<0\\ -\frac{1}{4}{x}^2+x,& 0\le x<2\\ 1,& x\ge 2\end{array}$$

(3) $P\{1<X<2\}={\int }_1^2\left(-\frac{1}{2}x+1\right)\mathrm{d}x=\frac{1}{4}$.

点评

本题也可以用分布函数 $F\left(x\right)$ 求概率 $P\{1<X<2\}=F\left(2\right)-F\left(1\right)=\frac{1}{4}$.

3.7

设随机变量 $X$ 的概率密度为

$$f\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{3},& \text{ 若 }x\in \left[0,1\right]\\ \frac{2}{9},& \text{ 若 }x\in \left[3,6\right]\\ 0,& \text{ 其他 }\end{array}$$

若 $k$ 使得 $P\{X\ge k\}=\frac{2}{3}$,则 $k$ 的取值范围是_____.

分析

本题中 $f\left(x\right)$ 是分段函数,要求 $k$ 的取值范围,对于 $k$ 要分段来讨论,再由已知条件为限制得到 $k$ 的取值范围.

解

当 $k<1$ 时, $P\{X\ge k\}>P\{X\ge 1\}$,因为 $P\{X\ge 1\}=\frac{2}{9}\times \left(6-3\right)=\frac{2}{3}$,所以 $P\{X\ge k\}>\frac{2}{3}$;

当 $k>3$ 时, $P\{X\ge k\}<P\{X\ge 3\}$,因为 $P\{X\ge 3\}=\frac{2}{9}\times \left(6-3\right)=\frac{2}{3}$,所以概率论与数理统计习题精选精解

$P\{X\ge k\}<\frac{2}{3}$

当 $1\le k\le 3$ 时, $P\{X\ge k\}=P\{k\le X<3\}+P\{X\ge 3\}=\frac{2}{3}$,所以 $k$ 的取值范围为 $[1,3]$.

3.8

某种型号的电子管其寿命 (以小时计) 为一随机变量. 概率密度函数是

$$\phi \left(x\right)=\{\begin{array}{cc}\frac{100}{x^2},& x\ge 100\\ 0,& \text{ 其他 }\end{array}$$

某一无线电器材配有三个这种电子管, 求使用 150 小时内不需要更换的概率.

解

每个电子管寿命在 $X\le 150$ 的概率

$$P\{X\le 150\}={\int }_{100}^{150}\frac{100}{x^2}\mathrm{d}x=-{\frac{100}{x}|}_{100}^{150}=\frac{1}{3}.$$

每个电子管寿命在 $X>150$ 的概率

$$P\{X>150\}=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$$

某一无线电器材配有三个这种电子管, 150 小时内不需要更换, 即三个电子管的寿命都在 150 小时以外. 所以不需要更换的概率

$$p={\left(\frac{2}{3}\right)}^3=\frac{8}{27}=0.296.$$