题型 2. 求连续型随机变量的数学期望

1.4

设在某一规定的时间间隔里, 某电气设备用于最大负荷的时间 $X$ (以分计) 是一个随机变量, 其概率密度为

$$f\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{{\left(1500\right)}^2}x,& 0\le x\le 1500\\ \frac{-1}{{\left(1500\right)}^2}\left(x-3000\right),& 1500<x\le 3000\\ 0,& \text{ 其他 }\end{array}$$

求 $E\left(X\right)$.

解

$$\begin{array}{rl}E\left(X\right)& ={\int }_{-\infty }^{+\infty }xf\left(x\right)\mathrm{d}x\\ & ={\int }_0^{1500}\frac{x^2}{{\left(1500\right)}^2}\mathrm{d}x+{\int }_{1500}^{3000}\frac{-x}{{\left(1500\right)}^2}\left(x-3000\right)\mathrm{d}x\\ & =1500\text{ (分)}\end{array}$$

1.5

设随机变量 $X$ 的分布函数为

$$F\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}1-\frac{4}{x^2},& x\ge 2\\ 0,& x<2\end{array}$$

求 $X$ 的期望.

解

因为 $X$ 的概率密度为

$$f\left(x\right)=F^{\prime }\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{8}{x^3},& x\ge 2\\ 0,& x<2\end{array}$$

所以

$$\begin{array}{rl}E\left(X\right)& ={\int }_{-\infty }^{+\infty }xf\left(x\right)\mathrm{d}x\\ & ={\int }_2^{+\infty }\frac{8}{x^2}\mathrm{d}x\\ & =4\end{array}$$

1.6

设 $f\left(x\right)$ 为随机变量 $X$ 的密度函数, 若对于常数 $c$, 有

$$f\left(c+x\right)=f\left(c-x\right),x>0$$

且 $EX$ 存在, 试证明 $EX=c$.

证

由数学期望的定义知

$$\begin{array}{rl}EX& ={\int }_{-\infty }^{+\infty }xf\left(x\right)\mathrm{d}x\\ & \stackrel{x=c+t}{\to }{\int }_{-\infty }^{+\infty }\left(c+t\right)f\left(c+t\right)\mathrm{d}t\\ & ={\int }_{-\infty }^{+\infty }cf\left(c+t\right)\mathrm{d}t+{\int }_{-\infty }^{+\infty }tf\left(c+t\right)\mathrm{d}t\end{array}$$

而

$$\begin{array}{rl}{\int }_{-\infty }^{+\infty }cf\left(c+t\right)& =c{\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left(c+t\right)\mathrm{d}t\\ & \stackrel{x=\left(c+t\right)}{\to }c{\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left(x\right)\mathrm{d}x\\ & =c\end{array}$$

由题意知:

$$\begin{array}{rl}{\int }_{-\infty }^{0}tf\left(c+t\right)\mathrm{d}t& ={\int }_{-\infty }^{0}tf\left(c-t\right)\mathrm{d}t\\ & \stackrel{u=-t}{\to }{\int }_0^{+\infty }uf\left(c+u\right)\mathrm{d}u\\ & =-{\int }_0^{+\infty }tf\left(c+t\right)\mathrm{d}t\end{array}$$

即

$${\int }_{-\infty }^{0}tf\left(c+t\right)\mathrm{d}t+{\int }_0^{+\infty }tf\left(c+t\right)\mathrm{d}t=0$$

亦即

$${\int }_{-\infty }^{+\infty }tf\left(c+t\right)\mathrm{d}t=0$$

从而证明 $EX=c$.