题型 1 求矩估计

1.1

设总体 $X$ 的概率密度函数为

$$f\left(x;\theta \right)=\{\begin{array}{ll}\theta x^{\theta -1},& 0<x<1\\ 0,& \text{ 其他 }\end{array}\left(\theta >0\right)$$

求未知参数 $\theta$ 的矩估计量.

分析

根据求矩估计量的求解步骤, 先求出 $X$ 的数学期望, 得到参数 $\theta$ 与期望的关系,然后由样本均值替换总体期望,即是 $\theta$ 的矩估计.

解

$$\begin{array}{rl}E[X]& ={\int }_{-\infty }^{+\infty }x\cdot f(x;\theta )\mathrm{d}x\\ & ={\int }_0^{1}x\theta x^{\theta -1}\mathrm{d}x\\ & =\frac{\theta }{\theta +1}.\end{array}$$

令 $EX=\bar{X}$,则 $\hat{\theta }=\frac{\bar{X}}{1-\bar{X}}$,其中 $\bar{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i$,则 $\hat{\theta }$ 即为参数 $\theta$ 的矩估计.

1.2

设总体 $X$ 的分布律为 $P\{X=x\}={\left(1-p\right)}^{x-1}p,x=1,2,\cdots ,\left(X_1,X_2,\cdots ,X_n\right)$ 是来自总体 $X$ 的样本,试求 $p$ 的矩估计量.

分析

对离散型随机变量同样是从求其数学期望出发,得到参数和数学期望之间的关系, 用样本均值替代总体期望.

解

因为 $X$ 服从几何分布,所以由几何分布的数字特征结论.

$E\left(X\right)=\frac{1}{p}$,令 $EX=\bar{X}$.

因此参数 $p$ 的矩估计量 $\hat{p}=\frac{1}{\bar{X}}$.

1.3

设总体 $X$ 在 $\left[a,b\right]$ 上服从均匀分布, $\left(X_1,X_2,\cdots ,X_n\right)$ 为其样本,样本均值 $\bar{X}$,样本方差 $S^2$,则 $a,b$ 的矩估计 $\hat{a}=\hat{a},\hat{b}=$

解

由均匀分布的数字特征结论:

$$EX=\frac{a+b}{2},DX=\frac{{\left(b-a\right)}^2}{12}.$$

令 $EX=\bar{X},DX=S^2$,解得

$$\hat{a}=\bar{X}-\sqrt{3}S,\hat{b}=\bar{X}+\sqrt{3}S,$$

即为 $a,b$ 的矩估计.

点评 因为需要估计两个参数 $a,b$,所以应该构造两个方程: (1) 求出期望 $EX$ 用 $\bar{X}$ 代替; ( 2 )求出方差 $DX$ 用 $S^2$ 代替,也可以求出 $E\left(X^2\right)$ 用 $A_2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i^2$ 代替,这样结果变成

$$\hat{a}=\bar{X}-\sqrt{3B_2},\hat{b}=\bar{X}+\sqrt{3B_2},$$

其中 $B_2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{\left(X_i-\bar{X}\right)}^2$ 为二阶样本中心距.

1.4

随机地取 8 只活塞环,测得它们的直径为 (单位:mm)

$\begin{array}{llllllll}74.001& 74.005& 74.003& 74.001& 74.000& 73.993& 74.006& 74.002\end{array}$

试求总体均值 $\mu$ 及方差 ${\sigma }^2$ 的矩估计值, 并求样本方差 $S^2$.

解

由矩法估计知

$$\{\begin{array}{l}{\mu }_1=E\left(X\right)=\mu \\ {\mu }_2=E\left(X^2\right)=D\left(X\right)+{\left[E\left(X\right)\right]}^2={\sigma }^2+{\mu }^2\end{array}$$

令

$$\{\begin{array}{l}\mu =A_1\\ {\sigma }^2+{\mu }^2=A_2\end{array}$$

解之得

$$\hat{\mu }=A_1=\bar{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i,$$ $${\hat{\sigma }}^2=A_2-A_1^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i^2-{\bar{X}}^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{\left(X_i-\bar{X}\right)}^2.$$

由题中数据得 $\hat{\mu }=74.001$, ${\hat{\sigma }}^2=6\times {10}^{-6}$.

样本方差 $s^2=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n{\left(x_i-\bar{x}\right)}^2=6.86\times {10}^{-6}$.