题型 4 非正态总体参数的区间估计

3.12

在一大批产品中取 100 件, 经检验有 92 件正品, 若记这批产品的正品率为 $p$, 求 $p$ 的置信度 0.95 的置信区间.

解

本题中的正品率 $p$ 就是 $\left(0-1\right)$ 分布中的参数 $p$, 而 $n=100$ 属于大样本.

由 $1-\alpha =0.95$ 知 $\alpha =0.05$, 查得 $u_{0.025}=1.96$, 而样本中平均正品率 $\bar{x}=\frac{92}{100}$, 代入公式

$$\bar{p}=\bar{x}+u_{\frac{\alpha }{2}}\sqrt{\frac{x\left(1-x\right)}{n}}=0.92+1.96\sqrt{\frac{0.92\times 0.08}{100}}=0.97,$$ $$\underline{p}=\bar{x}-u_{\frac{\alpha }{2}}\sqrt{\frac{x\left(1-x\right)}{n}}=0.92-1.96\sqrt{\frac{0.92\times 0.08}{100}}=0.87,$$

所以 $p$ 的置信度 0.95 的置信区间为 $\left(0.87,0.97\right)$.

3.13

设

• 总体 $X$ 的方差 ${\sigma }^2=1$,
• 根据来自 $X$ 的容量为 100 的简单样本,
  • 测得样本均值为 5,

则 $X$ 的数学期望的置信度近似等于 0.95 的置信区间为 ___ .

解

设 $EX=\mu$,由中心极限定理 $U=\frac{\bar{X}-\mu }{\frac{\sigma }{\sqrt{n}}}$ 近似服从 $N\left(0,1\right)$,

令

$$P\left\{\left|U\right|<u_{\frac{\alpha }{2}}\right\}\approx 1-0.05=0.95,$$

查正态分布表, 得 $u_{\frac{\alpha }{2}}=1.96$ 代入 $X$ 的数学期望的置信区间

$$\left[\bar{X}-u_{\frac{\alpha }{2}}\frac{\sigma }{\sqrt{n}},\bar{X}+u_{\frac{\alpha }{2}}\frac{\sigma }{\sqrt{n}}\right],$$

经计算为 $\left(4.804,5.196\right)$.

故应填 (4.804,5.196).

点评

本题未说明总体 $X$ 为正态分布,因此直接套用正态总体 $\mu$ 的置信区间公式不妥,应该先用中心极限定理取近似, 再根据定义求出置信区间.