题型 1 关于两类错误

1.1

在假设检验中,记 $H_1$ 为备择假设,则称( )为犯第一类错误.

(A) $H_1$ 真,接受 $H_1$ (B) $H_1$ 不真,接受 $H_1$

(C) $H_1$ 真,拒绝 $H_1$ (D) $H_1$ 不真,拒绝 $H_1$

解

应选 (B),(B) 相当于 $H_0$ 为真,但拒绝 $H_0$,为第一类错误.

1.2

对假设检验, 显著性水平 $\alpha =0.05$, 其意义是( ).

(A) 原假设不成立, 经过检验而被拒绝的概率

(B) 原假设成立, 经过检验而被拒绝的概率

(C) 原假设不成立, 经过检验不能拒绝的概率

(D) 原假设成立, 经过检验不能拒绝的概率

解

应选 (B), $\alpha$ 即第一类错误” 弃真” 的概率.

1.3

在假设检验中, $H_0$ 表示原假设, $H_1$ 为备择假设,则称为犯第二类错误是( ).

(A) $H_1$ 不真,接受 $H_1$ (B) $H_1$ 不真,接受 $H_0$

(C) $H_0$ 不真,接受 $H_1$ (D) $H_0$ 不真,接受 $H_0$

解

应选(D).

1.4

假设

• $X_1,X_2,\cdots ,X_{36}$ 是来自正态总体 $N\left(\mu ,0.04\right)$ 的简单随机样本,
  • 其中 $\mu$ 为未知参数,
• 记 $\bar{X}=\frac{1}{36}\sum _{i=1}^{36}{X}_i$,

现对检验问题

• $H_0:\mu =0.5,H_1:\mu ={\mu }_1>0.5$,
• 取检验否定域 $D=\{(x_1$, $x_2,\cdots ,x_{36}):\bar{X}>C\}$,
• 检验显著性水平 $\alpha =0.05$.

试计算:

1. $C$;
2. 若 $\alpha =0.05,{\mu }_1=0.65$ 时,犯第二类错误的概率是多少？

解

(1)

若假设 $H_0$ 成立, 即 $\mu =0.5$, 那么总体 $X\sim N\left(0.5,0.04\right)$, $\bar{X}\sim N\left(0.5,\frac{1}{900}\right)$.

根据题意知

$$\begin{array}{rl}\alpha & =P\left\{\text{接受 }{H}_0\mid H_0\text{ 为真}\right\}\\ & =P\{\bar{X}>C\}\\ & =1-P\{\bar{X}\le C\}\\ & =1-P\left\{\frac{\bar{X}-0.5}{\frac{1}{30}}\le \frac{C-0.5}{\frac{1}{30}}\right\}\\ & =1-\Phi \left(30C-15\right)\\ & =0.05.\end{array}$$

那么 $\Phi \left(30C-15\right)=0.95$,查表得 $30C-15=1.645$,即 $C=0.5548$.

(2)

若假设 $H_1$ 成立,即 $\mu ={\mu }_1=0.65$,那么总体 $X\sim N\left(0.65,0.04\right)$, $\bar{X}\sim N\left(0.65\text{，}\frac{1}{900}\right)$.

根据题意知

$$\begin{array}{rl}\beta & =P\left\{\text{ accept }{H}_0\mid H_0\text{ is false }\right\}\\ & =P\{\bar{X}<C\}\\ & =P\left\{\frac{\bar{X}-0.65}{\frac{1}{30}}<\frac{C-0.65}{\frac{1}{30}}\right\}\\ & =\Phi \left(30\times \left(0.5548-0.65\right)\right)\\ & =\Phi \left(-2.856\right)\\ & =1-\Phi \left(2.856\right)\\ & \approx 1-0.9979\\ & =0.0021\text{.}\end{array}$$