8.1.2 假设检验的两类错误

如前所述, 对一个假设检验问题作检验, 就是在原假设 $H_0$ 成立的前提下构造一个小概率事件, 由该事件是否发生, 来决定是否拒绝原假设 $H_0$.

这种作法会出现两种类型的错误判断,

拒真错误

第一种错误的判断就是, 本来原假设 $H_0$ 是真实的或正确的, 此时小概率事件可能发生, 也可能不发生. 一旦该事件发生我们就拒绝 $H_0$, 即认为 $H_0$ 不真实或不正确. 这种错误我们称为第一类错误, 又称拒真错误. 犯这种错误的概率恰是 $\alpha$, 即

$$\alpha =P(\text{拒绝}{H}_0\mid H_0\text{真})\text{.}$$

受伪错误

这种作法还会出现另一种错误的判断, 那就是原假设 $H_0$ 是不真实的或不正确的, 此时若小概率事件未发生, 我们就不拒绝 $H_0$, 即认为 $H_0$ 是真实的或正确的. 这种错误我们称为第二类错误, 又称受伪错误. 犯这种错误的概率我们记为 $\beta$, 即

$$\beta =P(\text{接受}{H}_0\mid H_0\text{伪})\text{.}$$

关于两类错误的说明

关于犯两类错误的概率 $\alpha$ 和 $\beta$,我们需要说明几点.

1. 首先,
   • $\beta \ne 1-\alpha$,
   • 在样本容量 $n$ 一定时, 同时缩小两类错误是不可能的.
2. 当样本容量 $n$ 一定时, 犯第一类错误的概率 $\alpha$ 越小, 则犯第二类错误的概率 $\beta$ 就会越大.
   • 这一点,我们可以由下面的 例 8.1.2 (正态均值简单假设检验) 看出,也与我们的生活经验相符, 那就是,
     • 当你不轻易相信一个消息的真实性时 (犯第二类错误的可能性较小), 就可能犯贸然拒绝的错误 (犯第一类错误的可能性较大).
     • 而轻信 (容易犯第二类错误) 就很少有拒绝错的风险 (不容易犯第一类错误).
3. 现实中样本容量不可能无限制的大, 从而同时控制两类错误是不可能的.
   • 一般都是在控制第二类错误的概率 $\beta$ 不超过某值 ${\beta }_0$ 的前提下, 使犯第一类错误的概率 $\alpha$ 尽可能小.
   • 假设检验的统计实践与法律中的无罪推断
4. 显著性检验 (Significance Testing)

• 例 8.1.2 (正态均值简单假设检验)
• 1.1
• 1.3
• 1.2
• 3.3
• 3.25
• 女士品茶