克拉默法则

定理 5.3 (克拉默法则).

如果 $n$ 元线性方程组 $\left\{ \begin{matrix} {a}_{11}{x}_{1} + {a}_{12}{x}_{2} + \cdots + {a}_{1n}{x}_{n} = {b}_{1}, \\ {a}_{21}{x}_{1} + {a}_{22}{x}_{2} + \cdots + {a}_{2n}{x}_{n} = {b}_{2}, \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \\ {a}_{n1}{x}_{1} + {a}_{n2}{x}_{2} + \cdots + {a}_{nn}{x}_{n} = {b}_{n} \end{matrix}\right. \tag{5.2}$ 的系数行列式 $D = a_{11} a_{21} ⋮ a_{n 1} a_{12} a_{22} ⋮ a_{n 2} \dots \dots \dots a_{1 n} a_{2 n} ⋮ a_{nn} \neq = 0,$ 那么该方程组有唯一解 ${x}_{1} = \frac{{D}_{1}}{D},{x}_{2} = \frac{{D}_{2}}{D},\cdots ,{x}_{n} = \frac{{D}_{n}}{D}, \tag{5.3}$ 其中 $D_{i}$ 是把 $D$ 中第 $i$ 列依次换成常数项 $b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n}$ 后所得到的行列式.

\begin{proof} 证明分两步进行.

第一步, 先来证解的存在性, 即 (5.3) 确实是 (5.2) 的解. 将 (5.3) 代入第 $s (s = 1, 2, \dots, n)$ 个方程的左端,有

$a_{s 1} \frac{D _{1}}{D} + a_{s 2} \frac{D _{2}}{D} + \dots + a_{s n} \frac{D _{n}}{D}$

$= \frac{1}{D} (a_{s 1} D_{1} + a_{s 2} D_{2} + \dots + a_{s n} D_{n})$

$= \frac{1}{D} (a_{s 1} k = 1 \sum n b_{k} A_{k 1} + a_{s 2} k = 1 \sum n b_{k} A_{k 2} + \dots + a_{s n} k = 1 \sum n b_{k} A_{kn})$

$= \frac{1}{D} (b_{1} k = 1 \sum n a_{s k} A_{1 k} + b_{2} k = 1 \sum n a_{s k} A_{2 k} + \dots + b_{n} k = 1 \sum n a_{s k} A_{nk})$

$= \frac{1}{D} b_{s} k = 1 \sum n a_{s k} A_{s k} = b_{s} .$

这里第二个等号是将行列式 $D_{i}$ 按第 $i$ 列展开后代入而得,第三个等号经恒等变形得到, 最后两个等号分别利用定理 5.2 和定理 5.1. 这说明方程组 (5.2) 有解且 (5.3) 确实是 (5.2) 的解.

第二步, 证明解的唯一性. 由第一步知方程组 (5.2) 有解. 设 $(c_{1}, c_{2}, \dots, c_{n})$ 为其任意一个解,将其代入方程组, 有 $\left\{ \begin{matrix} {a}_{11}{c}_{1} + {a}_{12}{c}_{2} + \cdots + {a}_{1n}{c}_{n} = {b}_{1}, \\ {a}_{21}{c}_{1} + {a}_{22}{c}_{2} + \cdots + {a}_{2n}{c}_{n} = {b}_{2}, \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \\ {a}_{n1}{c}_{1} + {a}_{n2}{c}_{2} + \cdots + {a}_{nn}{c}_{n} = {b}_{n}. \end{matrix}\right. \tag{5.4}$

用 $D$ 的第 $s (1 \leq s \leq n)$ 列元素的代数余子式 $A_{1 s}, A_{2 s}, \dots, A_{n s}$ 依次乘 (5.4) 中的 $n$ 个等式,有

$⎩ ⎨ ⎧ a_{11} A_{1 s} c_{1} + a_{12} A_{1 s} c_{2} + \dots + a_{1 n} A_{1 s} c_{n} = b_{1} A_{1 s}, a_{21} A_{2 s} c_{1} + a_{22} A_{2 s} c_{2} + \dots + a_{2 n} A_{2 s} c_{n} = b_{2} A_{2 s}, \dots\dots\dots\dots a_{n 1} A_{n s} c_{1} + a_{n 2} A_{n s} c_{2} + \dots + a_{nn} A_{n s} c_{n} = b_{n} A_{n s} .$

把上面的 $n$ 个等式两边分别相加,有 $i = 1 \sum n j = 1 \sum n a_{ij} A_{i s} c_{j} = i = 1 \sum n b_{i} A_{i s}$

由定理 5.1 和定理 5.2 分别计算上式的右侧和左侧, 有 $c_{s} D = D_{s}, s = 1, 2, \dots, n,$

于是 $c_{s} = \frac{D _{s}}{D}, s = 1, 2, \dots, n .$

这说明方程组 (5.2) 的任一解 $(c_{1}, c_{2}, \dots, c_{n})$ 都有 $c_{i} = \frac{D _{i}}{D} (i = 1, 2, \dots, n)$ 成立, 故方程组只有唯一解. \end{proof}

例题 5.3

齐次方程组

克拉默法则的缺点

应用克拉默法则解决线性方程组问题时要求未知量的个数与方程的个数相等, 并且要求系数行列式不为零. 这种条件相对比较苛刻, 并且从上面的例子可以看出,用克拉默法则求解 $n$ 元线性方程组时需要计算 $n + 1$ 个 $n$ 阶行列式, 算量比较大. 这就要求我们在解决一般的线性方程组问题时采用别的方法手段, 即后续章节中所要讲到的一般线性方程组的求解问题.

Youliang Zhong

克拉默法则

Graph View

Backlinks