齐次方程组

下面我们讨论一类特殊的 $n$ 元线性方程组,即常数项全为零的线性方程组, 它称为齐次线性方程组, 其一般形式为

$\{\begin{array}{c}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=0,\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=0,\\ \cdots \cdots \cdots \cdots \\ a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\cdots +a_{mn}{x}_n=0.\end{array}$

显然,齐次线性方程组总是有解的, $\left(0,0,\cdots ,0\right)$ 就是它的一个解,称为零解. 若齐次线性方程组有不全为零的解 $x_i\left(i=1,2,\cdots ,n\right)$ ,称为非零解. 对齐次线性方程组而言, 我们常常关心的问题是, 它除零解之外还有没有非零解. 对于方程个数 $m$ 与未知数的个数 $n$ 相等的齐次线性方程组,应用克拉默法则,有如下定理.

定理 5.4 行列式判别齐次方程组非零解的存在性

例题 5.4.

设齐次线性方程组 $\{\begin{array}{l}\lambda x_1+x_2=0\\ x_1+\lambda x_2=0\end{array}$ 有非零解,试求 $\lambda$ 的值.

\begin{proof} 由定理 5.4 , 若此方程组有非零解, 则系数行列式

$D=\left|\begin{array}{ll}\lambda & 1\\ 1& \lambda \end{array}\right|={\lambda }^2-1=0$

故有 $\lambda =\pm 1$ . 容易验证,当 $\lambda =\pm 1$ 时,该方程组确有非零解. \end{proof}