定理 5.4 行列式判别齐次方程组非零解的存在性

定理 5.4.

如果齐次线性方程组 \left\{ \begin{matrix} {a}_{11}{x}_{1} + {a}_{12}{x}_{2} + \cdots + {a}_{1n}{x}_{n} = 0, \\ {a}_{21}{x}_{1} + {a}_{22}{x}_{2} + \cdots + {a}_{2n}{x}_{n} = 0, \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \\ {a}_{n1}{x}_{1} + {a}_{n2}{x}_{2} + \cdots + {a}_{nn}{x}_{n} = 0 \end{matrix}\right. \tag{5.5} 的系数行列式 $D\ne 0$ ,则它只有零解. 换言之,如果齐次线性方程组 (5.5) 有非零解,那么必有系数行列式 $D=0$ .

\begin{proof} 证明 若系数行列式 $D\ne 0$ ,由克拉默法则,方程组 (5.5) 必有唯一解

$\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)=\left(\frac{D_1}{D},\frac{D_2}{D},\cdots ,\frac{D_n}{D}\right).$

这里 $D_i\left(i=1,2,\cdots ,n\right)$ 的第 $i$ 列元素全为 0,故 $D_i=0$ ,所以 $\left(0,0,\cdots ,0\right)$ 是 (5.5) 的唯一解,也就是说,它只有零解. 既然当 $D\ne 0$ 时方程组 (5.5) 只有零解, 故若方程组 (5.5) 有非零解则必有 $D=0$ .

此定理给出了齐次线性方程组 (5.5) 有非零解的必要条件: 方程组的系数行列式 $D=0$ . 这个条件不仅是必要的,在第四章中,我们将证明它也是充分的,即若齐次线性方程组 (5.5) 的系数行列式 $D=0$ ,则它必有非零解,并且还将继续讨论当方程个数 $m$ 与未知数的个数 $n$ 不相等时齐次线性方程组的解的情况. \end{proof}