推论 1.2

推论 1.2.

齐次线性方程组

$$\{\begin{array}{c}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=0,\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=0,\\ \cdots \cdots \cdots \cdots \\ a_{n1}{x}_1+a_{n2}{x}_2+\cdots +a_{nn}{x}_n=0\end{array}\text{\hspace{1em}(1.5)}$$

有非零解的充要条件是其系数矩阵 $\mathbf{A}$ 的行列式 $\left|\mathbf{A}\right|=0$ .

\begin{proof} 充分性 设方程组 (1.5) 的系数矩阵 $\mathbf{A}$ 的行列式 $\left|\mathbf{A}\right|=0$ ,则矩阵 $\mathbf{A}$ 是降秩的, 从而 $r\left(\mathbf{A}\right)<n$, 由 定理 1.4 秩判别齐次方程组的非零解存在性 知齐次线性方程组有非零解.

必要性的证明就是应用 定理 5.4 行列式判别齐次方程组非零解的存在性. \end{proof}