拉普拉斯展开定理

拉普拉斯(Laplacian)展开定理是行列式按一行 (列) 展开定理的推广.

设 $k$ 是不大于 $n$ 的正整数,在 $n$ 阶行列式 $D$ 中选定 $k$ 行 $k$ 列, 位于这 $k$ 行 $k$ 列交点处的 $k^{2}$ 个元素按原来的次序组成一个 $k$ 阶行列式 $M$ ,它称为 $D$ 的 $k$ 阶子式. 当 $k < n$ 时,在 $D$ 中把选定的 $k$ 行 $k$ 列划去,则余下的 $(n - k)^{2}$ 个元素按原来的次序组成一个 $n - k$ 阶行列式 $N$ , 它称为 $M$ 的余子式. 显然,余子式也是子式,并且 $M$ 也是 $N$ 的余子式. 设选定的 $k$ 行为第 $i_{1}, i_{2}, \dots, i_{k}$ 行, 选定的 $k$ 列为第 $j_{1}, j_{2}, \dots, j_{k}$ 列, 此时称 $(- 1)^{i_{1} + i_{2} + \dots + i_{k} + j_{1} + j_{2} + \dots + j_{k}} N$ 为 $M$ 的代数余子式.

定理 5.5 (拉普拉斯展开定理).

设 $k$ 是小于 $n$ 的正整数, 在 $n$ 阶行列式 $D$ 中取定 $k$ 行 (或 $k$ 列). 元素来自这 $k$ 行 ( $k$ 列) 所有的 $k$ 阶子式 和它们各自的 代数余子式 乘积之和等于行列式 $D$ .

证明从略.

易知,元素来自取定的 $k$ 行的 $k$ 阶子式共有 $t = C_{n}^{k}$ 个. 把它们记作 $M_{1}$ , $M_{2}, \dots, M_{t}$ ,并把 $M_{j}$ 的代数余子式用 $A_{j}$ 表示,则定理的结论表明 $D = M_{1} A_{1} + M_{2} A_{2} + \dots + M_{t} A_{t} .$

在一般情况下,拉普拉斯展开定理也不适于计算行列式. 如果元素来自取定的 $k$ 行的 $k$ 阶子式只有少数几个不为零,定理是有效的.

例题 5.5

Youliang Zhong

拉普拉斯展开定理

Graph View

Backlinks