行列式按一行 (列) 展开定理

定义 5.1. 余子式

在 $n$ 阶行列式 $D = ∣ a_{ij} ∣$ 中,去掉元素 $a_{ij}$ 所在的第 $i$ 行、第 $j$ 列所剩下的 $(n - 1)^{2}$ 个元素构成的 $n - 1$ 阶行列式 $a_{11} ⋮ a_{i - 1, 1} a_{i + 1, 1} ⋮ a_{n 1} \dots \dots \dots \dots a_{1, j - 1} ⋮ a_{i - 1, j - 1} a_{i + 1, j - 1} ⋮ a_{n, j - 1} a_{1, j + 1} ⋮ a_{i - 1, j + 1} a_{i + 1, j + 1} ⋮ a_{n, j + 1} \dots \dots \dots \dots a_{1 n} ⋮ a_{i - 1, n} a_{i + 1, n} ⋮ a_{nn}$ 称为元素 $a_{ij}$ 的 余子式, 通常记作 $M_{ij}$ . 余子式 $M_{ij}$ 与符号项 $(- 1)^{i + j}$ 的乘积 $(- 1)^{i + j} M_{ij}$ 叫做元素 $a_{ij}$ 的 代数余子式, 通常记作 $A_{ij}$ . 规定 $n = 1$ 时, $M_{ij} = A_{ij} = 1$ .

三阶行列式展开

利用上述概念我们可以将三阶行列式按行展开为 $D = a_{i 1} A_{i 1} + a_{i 2} A_{i 2} + a_{i 3} A_{i 3} (i = 1, 2, 3),$ 或者按列展开为 $D = a_{1 j} A_{1 j} + a_{2 j} A_{2 j} + a_{3 j} A_{3 j} (j = 1, 2, 3) .$

下面我们给出行列式按一行 (列) 展开定理:

定理 5.1. 行列式按一行(列)展开定理

$n$ 阶行列式 $D = ∣ a_{ij} ∣$ 等于它的任意一行 (列) 的所有元素与各自的代数余子式的乘积之和, 即 $D = a_{i 1} A_{i 1} + a_{i 2} A_{i 2} + \dots + a_{in} A_{in} (i = 1, 2, \dots, n)$ 或者 $D = a_{1 j} A_{1 j} + a_{2 j} A_{2 j} + \dots + a_{nj} A_{nj} (j = 1, 2, \dots, n) .$

\begin{proof} 如同上节一样, 我们只证行的情况, 列的情况同理可证.

证明分以下三步进行.

先来证特殊的情形:
- 设首行只有第一个元素不为零,
- 则有 $D = \left| \begin{matrix} {a}_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ {a}_{21} & {a}_{22} & \cdots & {a}_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ {a}_{n1} & {a}_{n2} & \cdots & {a}_{nn} \end{matrix}\right| = {a}_{11}{A}_{11} = {a}_{11}{M}_{11} = {a}_{11}\left| \begin{matrix} {a}_{22} & \cdots & {a}_{2n} \\ \vdots & & \vdots \\ {a}_{n2} & \cdots & {a}_{nn} \end{matrix}\right| . \tag{5.1}$
- 由于 $a_{1 j} = 0 (j = 2, 3, \dots, n)$ ,
  - 结合行列式的定义知

D = j_{2} j_{3} \dots j_{n} \sum (- 1)^{τ (1 j_{2} j_{3} \dots j_{n})} a_{11} a_{2 j_{2}} \dots a_{n j_{n}} = a_{11} j_{2} j_{3} \dots j_{n} \sum (- 1)^{τ (1 j_{2} j_{3} \dots j_{n})} a_{2 j_{2}} \dots a_{n j_{n}} .

下证 $M_{11} = j_{2} j_{3} \dots j_{n} \sum (- 1)^{τ (1 j_{2} j_{3} \dots j_{n})} a_{2 j_{2}} \dots a_{n j_{n}}$
- $M_{11}$ 展开式中全为形如 $a_{2 j_{2}} \dots a_{n j_{n}}$ 的项,
- 注意到 $M_{11}$ 为 $n - 1$ 阶行列式,
  - 故每一项所带的符号是 $(- 1)^{τ ((j_{2} - 1) (j_{3} - 1) \dots (j_{n} - 1))}$ .
- 显然,

\left( {{j}_{3} - 1}\right) \cdots \left( {{j}_{n} - 1}\right) )$$ - 从而有 $${M}_{11} = \mathop{\sum }\limits_{{{j}_{2}{j}_{3}\cdots {j}_{n}}}{\left( -1\right) }^{\tau \left( {1{j}_{2}{j}_{3}\cdots {j}_{n}}\right) }{a}_{2{j}_{2}}\cdots {a}_{n{j}_{n}}.$$ - 于是, (5.1) 成立. 2. 更进一步, 设第 $i$ 行只有元素 ${a}_{ij}$ 不为零, 即 $$0 = {a}_{it} \neq {a}_{ij}(t = 1,2,\cdots ,j - 1$ , $j + 1,\cdots ,n)$$ - 下证 $$D = \left| \begin{matrix} {a}_{11} & \cdots & {a}_{1,j - 1} & {a}_{1j} & {a}_{1,j + 1} & \cdots & {a}_{1n} \\ \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ {a}_{i - 1,1} & \cdots & {a}_{i - 1,j - 1} & {a}_{i - 1,j} & {a}_{i - 1,j + 1} & \cdots & {a}_{i - 1,n} \\ 0 & \cdots & 0 & {a}_{ij} & 0 & \cdots & 0 \\ {a}_{i + 1,1} & \cdots & {a}_{i + 1,j - 1} & {a}_{i + 1,j} & {a}_{i + 1,j + 1} & \cdots & {a}_{i + 1,n} \\ \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ {a}_{n1} & \cdots & {a}_{n,j - 1} & {a}_{nj} & {a}_{n,j + 1} & \cdots & {a}_{nn} \end{matrix}\right| = {a}_{ij}{A}_{ij}.$$ - 将 $D$ 的第 $i$ 行依次与它上面的各行作对换, - 直至换至第一行; - 然后再将第 $j$ 列依次与它前面的各列作对换, - 直至 ${a}_{ij}$ 被换到左上角的位置. - 于是

\begin{aligned} D = &{\left( -1\right) }^{\left( {i - 1}\right) + \left( {j - 1}\right) }\left| \begin{matrix} {a}{ij} & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 \ {a}{1j} & {a}{11} & \cdots & {a}{1,j - 1} & {a}{1,j + 1} & \cdots & {a}{1n} \ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \ {a}{i - 1,j} & {a}{i - 1,1} & \cdots & {a}{i - 1,j - 1} & {a}{i - 1,j + 1} & \cdots & {a}{i - 1,n} \ {a}{i + 1,j} & {a}{i + 1,1} & \cdots & {a}{i + 1,j - 1} & {a}{i + 1,j + 1} & \cdots & {a}{i + 1,n} \ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \ {a}{nj} & {a}{n1} & \cdots & {a}{n,j - 1} & {a}{n,j + 1} & \cdots & {a}{nn} \end{matrix}\right| \ \frac{\left( {5.1}\right) }{} &{\left( -1\right) }^{i + j}{a}{ij}\left| \begin{matrix} {a}{11} & \cdots & {a}{1,j - 1} & {a}{1,j + 1} & \cdots & {a}{1n} \ \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \ {a}{i - 1,1} & \cdots & {a}{i - 1,j - 1} & {a}{i - 1,j + 1} & \cdots & {a}{i - 1,n} \ {a}{i + 1,1} & \cdots & {a}{i + 1,j - 1} & {a}{i + 1,j + 1} & \cdots & {a}{i + 1,n} \ \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \ {a}{n1} & \cdots & {a}{n,j - 1} & {a}{n,j + 1} & \cdots & {a}{nn} \end{matrix}\right| \ = &{\left( -1\right) }^{i + j}{a}{ij}{M}{ij} = {a}{ij}{A}{ij}. \end{aligned}

3. 对于任意第 $i$ 行 $\left( {{a}_{i1},{a}_{i2},\cdots ,{a}_{in}}\right)$ 的情形: - 我们可以将它写为 $$\left( {{a}_{i1} + 0 + \cdots + 0,0 + {a}_{i2} + 0 + \cdots + 0,\cdots ,0 + \cdots + 0 + {a}_{in}}\right) ,$$ - 借助于行列式的线性性质 ${4.4}\left( 1\right)$ 有

\begin{aligned} D &= \left| \begin{matrix} {a}{11} & {a}{12} & \cdots & {a}{1n} \ \vdots & \vdots & & \vdots \ {a}{i1} + 0 + \cdots + 0 & 0 + {a}{i2} + 0 + \cdots + 0 & \cdots & 0 + \cdots + 0 + {a}{in} \ \vdots & \vdots & & \vdots \ {a}{n1} & {a}{n2} & \cdots & {a}{nn} \end{matrix}\right| \ &= \left| \begin{matrix} {a}{11} & {a}{12} & \cdots & {a}{1n} \ \vdots & \vdots & & \vdots \ {a}{i1} & 0 & \cdots & 0 \ \vdots & \vdots & & \vdots \ {a}{n1} & {a}{n2} & \cdots & {a}{nn} \end{matrix}\right| + \left| \begin{matrix} {a}{11} & {a}{12} & \cdots & {a}{1n} \ \vdots & \vdots & & \vdots \ 0 & {a}{i2} & \cdots & 0 \ \vdots & \vdots & & \vdots \ {a}{n1} & {a}{n2} & \cdots & {a}{nn} \end{matrix}\right| + \cdots + \left| \begin{matrix} {a}{11} & {a}{12} & \cdots & {a}{1n} \ \vdots & \vdots & & \vdots \ 0 & 0 & \cdots & {a}{in} \ \vdots & \vdots & & \vdots \ {a}{n1} & {a}{n2} & \cdots & {a}{nn} \end{matrix}\right| \ &= {a}{i1}{A}{i1} + {a}{i2}{A}{i2} + \cdots + {a}{in}{A}{in}. \end{aligned}

`\end{proof}` 为了说明该定理在行列式计算中的用途, 来看下面的几个例子. - [[teach/Linear algebra/1/例题 5.1]] - [[teach/Linear algebra/1/例题 5.2]]

Youliang Zhong

行列式按一行 (列) 展开定理

Graph View

Backlinks