初等变换求逆矩阵

借助这两个推论, 我们可以得到两个 用初等变换求逆矩阵 的方法. 设矩阵 $A$ 为 $n$ 阶可逆矩阵, 那么

行变换

将 $n$ 阶单位矩阵 $E$ 添到 $A$ 的右侧, 构成分块矩阵 $(A, E)$ , 然后对这个 $n \times 2 n$ 矩阵进行初等行变换, 使它变为 $(E, B)$ 的形式, 那么 $A^{- 1} = B$ . 因为存在初等矩阵 $P_{1}, P_{2}, \dots, P_{m}$ 使得 $P_{m} \dots P_{2} P_{1} A = E$ ，那么

A^{- 1} = P_{m} \dots P_{2} P_{1} = P_{m} \dots P_{2} P_{1} E

故利用分块矩阵的乘法即知

P_{m} \dots P_{2} P_{1} (A, E) = (P_{m} \dots P_{2} P_{1} A, P_{m} \dots P_{2} P_{1} E) = (E, A^{- 1})

列变换

将 $n$ 阶单位矩阵 $E$ 添到 $A$ 的下面，构成分块矩阵 $(E A)$ ，然后对这个 $2 n \times n$ 矩阵进行初等列变换，使它变为 $(B E)$ 的形式，那么 $A^{- 1} = B$ 。因为存在初等矩阵 $Q_{1}, Q_{2}, \dots, Q_{m}$ , 使得 $A Q_{1} Q_{2} \dots Q_{m} = E$ , 从而

A^{- 1} = Q_{1} Q_{2} \dots Q_{m} = E Q_{1} Q_{2} \dots Q_{m}

那么由分块矩阵的乘法知，

(E A) Q_{1} Q_{2} \dots Q_{m} = (E Q _{1} Q _{2} \dots Q _{m} A Q _{1} Q _{2} \dots Q _{m}) = (A ^{- 1} E)

例题 5.2

Youliang Zhong

初等变换求逆矩阵

行变换

列变换

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