定理 3.1 总等价于阶梯形矩阵

定理 3.1. 总等价于阶梯形矩阵

任意一个矩阵都可经过一系列初等行变换化为阶梯形矩阵。

\begin{proof}

• 这里，只允许施行初等行变换。

• 设已给 $m\times n$ 矩阵 $\mathbf{A}={\left(a_{ij}\right)}_{mn}$ 。

• 若所有的 $a_{ij}$ 均为零，则 $\mathbf{A}$ 是阶梯形矩阵。

• 若 $\mathbf{A}$ 有非零元素。

• 设 $\mathbf{A}$ 的第 $1$, $2$, …, $j_1-1$ 列的元素均为 0 ，

  • 而第 $j_1$ 列有非零元素.
  • 通过两行互换，可把该非零元素换到第 1 行。

• 然后从第 2 行起，每行都加上第 1 行的适当倍数，

  • 可使第 $j_1$ 列中除第 1 行的元素外全为 0 。
  • 于是矩阵化成

$$A_1=\left(\begin{array}{ccccccc}0& \cdots & 0& a_{1j_1}^{\prime }& a_{1,j_1+1}^{\prime }& \cdots & a_{1n}^{\prime }\\ 0& \cdots & 0& 0& a_{2,j_1+1}^{\prime }& \cdots & a_{2n}^{\prime }\\ 0& \cdots & 0& 0& a_{3,j_1+1}^{\prime }& \cdots & a_{3n}^{\prime }\\ ⋮& & ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& \cdots & 0& 0& a_{m,j_1+1}^{\prime }& \cdots & a_{mn}^{\prime }\end{array}\right)$$

- 其中 $a_{1 j_{1}}^{\prime} \neq 0$ 。

• 若此时后 $m-1$ 行全为 $0$,
  • ${\mathbf{A}}_1$ 就是阶梯形矩阵。
• 如果 ${\mathbf{A}}_1$ 除第 1 行外还有非零元素，
  • 设在后 $m-1$ 行中第 $1,2,\cdots ,j_2-1$ 列全为 0 ，
  • 而 $j_2$ 列中有非零元素，
    • 显然 $j_2>j_1$ 。
• 像上面一样经过初等行变换可使 $\left(2,j_2\right)$ 位置的元素不为 0，
  • 并且当 $i>2$ 时， $\left(i,j_2\right)$ 位置元素全为 0 。
• 继续这一过程，最后即得到阶梯形矩阵。 \end{proof}