3.4.6 距离

我们知道两点的距离可由连接这两点的向量的长度来确定. 下面仍以向量为工具研究点到直线及点到平面的距离. 利用这两种距离容易求出两条平行直线、两个平行平面及直线与平行于该直线的平面之间的距离. 这些距离均指垂直距离.

3.4.6.1 点到直线的距离

设 $P_0\left(x_0,y_0,z_0\right)$ 为空间一定点,过点 $P_1\left(x_1,y_1,z_1\right)$ 且方向向量为 $s$ 的直线用 $l\left(P_1,s\right)$ 表示. 点 $P_0$ 到直线 $l$ 的距离用 $d\left(P_0,l\right)$ 表示 (如图 3.8 所示).

显然, $d\left(P_0,l\right)=\left|\overrightarrow{P_1{P}_0}\right|\sin \theta$ (其中 $\theta$ 为 $s$ 与 $\overrightarrow{P_1{P}_0}$ 的夹角). 由

$$\left|s\times \overrightarrow{P_1{P}_0}\right|=\left|s\right|\left|\overrightarrow{P_1{P}_0}\right|\sin \theta$$

图 3.8

可得

$$d\left(P_0,l\right)=\frac{\left|s\times \overrightarrow{P_1{P}_0}\right|}{\left|s\right|}$$

由此可知, 两条平行直线的距离就是其中一条直线上的一点到另一条直线的距离.

例题 4.6

3.4.6.2 点到平面的距离

设 $P_0\left(x_0,y_0,z_0\right)$ 为空间一定点,过点 $P_1\left(x_1,y_1,z_1\right)$ 且法向量为 $\mathbf{n}$ 的平面用 $\pi \left(P_1,\mathbf{n}\right)$ 表示,点 $P_0$ 到平面 $\pi$ 的距离用 $d\left(P_0,\pi \right)$ 表示,过 $P_0$ 作平面 $\pi$ 的垂线交 $\pi$ 于 $Q_0$ (如图 3.9 所示).

图 3.9

显然, $d\left(P_0,\pi \right)=\left|\overrightarrow{Q_0{P}_0}\right|=\left|\overrightarrow{P_1{P}_0}\right|\left|\cos \theta \right|$ (其中 $\theta$ 为 $n$ 与 $\overrightarrow{P_1{P}_0}$ 的夹角). 由

$$\left|\mathbf{n}\cdot \overrightarrow{P_1{P}_0}\right|=\left|\mathbf{n}\right|\left|\overrightarrow{P_1{P}_0}\right|\left|\cos \theta \right|$$

可得

$$d\left(P_0,\pi \right)=\frac{\left|\mathbf{n}\cdot \overrightarrow{P_1{P}_0}\right|}{\left|\mathbf{n}\right|}.$$

设平面 $\pi$ 的一般式方程为 $Ax+By+Cz+D=0$ . 由 $\overrightarrow{P_1{P}_0}=(x_0-x_1,y_0-$ $y_1,z_0-z_1)$ 知,

$$d\left(P_0,\pi \right)=\frac{\left|\mathbf{n}\cdot \overrightarrow{P_1{P}_0}\right|}{\left|\mathbf{n}\right|}=\frac{\left|A\left(x_0-x_1\right)+B\left(y_0-y_1\right)+C\left(z_0-z_1\right)\right|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.$$

再由 $P_1$ 在平面 $\pi$ 上可知

$$A{x}_1+B{y}_1+C{z}_1+D=0,$$

即

$$-A{x}_1-B{y}_1-C{z}_1=D.$$

因此,点 $P_0$ 到平面 $\pi$ 的距离为

$$d\left(P_0,\pi \right)=\frac{\left|A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D\right|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.$$

由此可得出以下两个结论.

(1) 与平面 $\pi$ 平行的直线 $l$ 到 $\pi$ 的距离为 $l$ 上的任意一点到 $\pi$ 的距离.

(2) 两个平行平面的距离为其中一个平面上的任意一点到另一个平面的距离.

例题 4.7