4.2 n维向量空间

上一节介绍了 $n$ 元线性方程组的解, 它由 $n$ 个数组成, 而这 $n$ 个数作为线性方程组的解是一个整体,分开是没有意义的. 它其实是一个 $n$ 维向量.

定义 2.1. (n维向量)
由数域 $F$ 上的 $n$ 个数 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ 组成的 $n$ 元有序数组
$(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}) 或 a_{1} a_{2} ⋮ a_{n}$
称为数域 $F$ 上的 $n$ 维向量, 其中 $a_{i}$ 称为它的第 $i$ 个分量.

通常以希腊字母 $α, β, γ, \dots$ 来表示 $n$ 维向量. 写成行形式的向量称为 行向量, 写成列形式的向量称为 列向量. 其实,它们也可以看作 $1 \times n$ 和 $n \times 1$ 的矩阵. 数域 $F$ 上的 $n$ 维向量的全体组成的集合记为 $F^{n}$ .
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在本章中,

F^{n}

的向量统一采用行向量的形式.

$n = 2$ 或 3 且 $F = R$ 的情形就是我们熟悉的平面或空间的有向向量, 当 $n > 3$ 时向量没有直观的几何意义.

下面介绍 $n$ 维向量之间的基本运算.

定义 2.2.

设 $α = (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}), β = (b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n})$ , 若
$a_{i} = b_{i} (i = 1, 2, \dots, n),$
则称这两个向量相等,记为 $α = β$ .

定义 2.3.

设向量 $α = (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}), β = (b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n})$ ,称
$γ = (a_{1} + b_{1}, a_{2} + b_{2}, \dots, a_{n} + b_{n})$
为 $α$ 与 $β$ 的和,记为
$γ = α + β$

定义 2.4.

分量全为零的向量
$(0, 0, \dots, 0)$
称为零向量, 记为 $0; (- a_{1}, - a_{2}, \dots, - a_{n})$ 称为向量 $α = (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})$ 的负向量, 记为 $- α$ .

利用负向量可以定义向量的减法:

α - β = α + (- β)

定义 2.5.

设 $k \in F$ ,向量
$(k a_{1}, k a_{2}, \dots, k a_{n})$
称为向量 $α = (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})$ 与数 $k$ 的数量乘积,记为 $k α$ 或 $α k$ .

显然,由上述定义易知, $\forall α, β \in F^{n}$ 和 $\forall k, ℓ \in F$ , $n$ 维向量的加法及数乘运算有以下八条运算规律:

$α + β = β + α$ ;
$(α + β) + γ = α + (β + γ)$ ;
$α + 0 = α$
$α + (- α) = 0$ ;
$1 \cdot α = α$ ;
$k (ℓ α) = (k ℓ) α$ ;
$k (α + β) = k α + k β$ ;
$(k + ℓ) α = k α + ℓ α$ .

定义 2.6. (n维向量空间)
以数域 $F$ 中的数作为分量的 $n$ 维向量的全体, 同时考虑到定义在它们上面的加法和数量乘积, 称为数域 $F$ 上的 $n$ 维向量空间, 记为 $F^{n}$ .

特别地,

当 $F = R$ 时称为 $n$ 维实向量空间,记为 $R^{n}$ ;

当 $F = C$ 时称为 $n$ 维复向量空间,记为 $C^{n}$ .

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Youliang Zhong

4.2 n维向量空间

定义 2.1. (n维向量)

定义 2.6. (n维向量空间)

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