定理 6.3. 解=特解+齐次解

定理 6.3. 解=特解+齐次解

设 ${\gamma }_0$ 是线性方程组 (6.1) 的一个解 (通常称为特解), 它的任意一个解 $\gamma$ 都可以表示成

$$\gamma ={\gamma }_0+\eta \text{\hspace{1em}(6.11)}$$

其中 $\eta$ 是它的导出组 (6.2) 的一个解. 因此,对于线性方程组 (6.1) 的任意一个特解 ${\gamma }_0$, 当 $\eta$ 取遍它的导出组 (6.2) 的全部解时, (6.11) 就给出了线性方程组 (6.1) 的全部解.

证明

显然, $\gamma$ 可以表示成

$$\gamma ={\gamma }_0+\left(\gamma -{\gamma }_0\right)$$

由于 $\gamma$ 为线性方程组 (6.1) 的任意一个解,而 ${\gamma }_0$ 是线性方程组 (6.1) 的一个特解, 由性质 6.3 知, $\gamma -{\gamma }_0$ 是导出组 (6.2) 的一个解, 令 $\eta =\gamma -{\gamma }_0$, 就证明了结论. 既然线性方程组 (6.1) 的任意一个解可以表示成 (6.11) 的形式, 根据性质 6.4, 当 $\eta$ 取遍它的导出组 (6.2) 的全部解时, $\gamma ={\gamma }_0+\eta$ 就取遍线性方程组 (6.1) 的全部解.