例题 2.1.

Question

已知矩阵

$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{lll}1& 2& 2\\ 2& 1& 2\\ 2& 2& 1\end{array}\right)$$

问 $\mathbf{A}$ 能否对角化? 在可对角化的情况下,求出使 ${\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{AP}$ 为对角矩阵的可逆矩阵 $\mathbf{P}$.

解

解 $\mathbf{A}$ 的特征方程为 $\left|\lambda \mathbf{E}-\mathbf{A}\right|=\left(\lambda -5\right){\left(\lambda +1\right)}^2=0$, 故 $\mathbf{A}$ 的特征值为 $5,-1$ (二重).

将 $\lambda =5$ 和 $\lambda =-1$ 分别代入齐次线性方程组 $\left(\lambda \mathbf{E}-\mathbf{A}\right)\mathbf{X}=0$ 中, 可求得

属于 5 的全部特征向量是

$$k_1\left(\begin{array}{l}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)(k_1\text{为任意非零数})$$

属于 -1 的全部特征向量是

$$k_2\left(\begin{array}{r}0\\ 1\\ -1\end{array}\right)+k_3\left(\begin{array}{r}1\\ 0\\ -1\end{array}\right)(k_2,k_3\text{不全为零})\text{.}$$

取属于特征值 5 的一个线性无关的特征向量 ${\alpha }_1=\left(\begin{array}{l}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)$, 属于特征值 -1 的两个线性无关的特征向量 ${\alpha }_2=\left(\begin{array}{r}0\\ 1\\ -1\end{array}\right)$, ${\alpha }_3=\left(\begin{array}{r}1\\ 0\\ -1\end{array}\right)$, 于是得到了 3 个线性无关的特征向量 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$, 其个数刚好等于矩阵的阶数, 所以 $\mathbf{A}$ 可对角化, 令 $\mathbf{P}=\left(\begin{array}{rrr}1& 0& 1\\ 1& 1& 0\\ 1& -1& -1\end{array}\right)$

$$\begin{array}{rl}{\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{AP}& =\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{3}& \frac{1}{3}& \frac{1}{3}\\ -\frac{1}{3}& \frac{2}{3}& -\frac{1}{3}\\ \frac{2}{3}& -\frac{1}{3}& -\frac{1}{3}\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 2\\ 2& 1& 2\\ 2& 2& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 1& 1& 0\\ 1& -1& -1\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}5& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right).\end{array}$$