定理 3.6 (实对称矩阵总能对角化)

定理 3.6 (实对称矩阵总能对角化)

设 $A$ 是一个 $n$ 阶实对称矩阵, 则存在正交矩阵 $T$, 使得 $T^{-1}AT$ 为对角矩阵.

证明

对 $\mathbf{A}$ 的阶数 $n$ 作数学归纳法.

当 $n=1$ 时,结论显然成立.

假设对于 $n-1$ 阶的实对称矩阵上述结论成立,下证对 $n$ 阶矩阵同样成立.

设 ${\lambda }_1$ 是 $\mathbf{A}$ 的一个特征值, 由 定理 3.4. (实对称矩阵的特征值为实数) 知, ${\lambda }_1$ 为实数. 设 $\alpha$ 是 $\mathbf{A}$ 属于 ${\lambda }_1$ 的一个实特征向量,有 $\mathbf{A}\alpha ={\lambda }_1\alpha$. 因为特征向量的非零倍数仍然是特征向量,将 $\alpha$ 单位化, 有

$${\alpha }_1=\frac{1}{\left|\alpha \right|}\alpha$$

于是, $\mathbf{A}{\alpha }_1={\lambda }_1{\alpha }_1$.

以 ${\alpha }_1$ 为第一列作一个正交矩阵 ${\mathbf{T}}_1=\left({\alpha }_1,\mathbf{S}\right)$ (由施密特正交化方法知 ${\mathbf{T}}_1$ 存在; 显然, $\mathbf{S}$ 为 $n\times \left(n-1\right)$ 矩阵), 则 ${\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}=\mathbf{A}$, ${\mathbf{T}}_1^{\mathrm{T}}={\mathbf{T}}_1^{-1}$. 于是,

$${\mathbf{T}}_1^{-1}\mathbf{A}{\mathbf{T}}_1={\mathbf{T}}_1^{\mathrm{T}}\mathbf{A}{\mathbf{T}}_1=\left(\begin{array}{c}{\alpha }_1^{\mathrm{T}}\\ {\mathbf{S}}^{\mathrm{T}}\end{array}\right)\mathbf{A}\left({\alpha }_1,\mathbf{S}\right)=\left(\begin{array}{cc}{\alpha }_1^{\mathrm{T}}\mathbf{A}{\alpha }_1& {\alpha }_1^{\mathrm{T}}\mathbf{AS}\\ {\mathbf{S}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}{\alpha }_1& {\mathbf{S}}^{\mathrm{T}}\mathbf{AS}\end{array}\right).$$

由于 $\mathbf{A}{\alpha }_1={\lambda }_1{\alpha }_1$ 及 ${\mathbf{T}}_1$ 的正交性, ${\alpha }_1^{\mathrm{T}}\mathbf{A}{\alpha }_1={\lambda }_1{\alpha }_1^{\mathrm{T}}{\alpha }_1={\lambda }_1$

{\mathbf{S}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}{\mathbf{\alpha }}_{1} = {\lambda }_{1}{\mathbf{S}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{\alpha }}_{1} = \mathbf{0}$$ $${\mathbf{\alpha }}_{1}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\mathbf{S} = {\left( {\mathbf{S}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}{\mathbf{\alpha }}_{1}\right) }^{\mathrm{T}} = \mathbf{0}.$$ 这样

{\mathbf{T}}{1}^{-1}\mathbf{A}{\mathbf{T}}{1} = \left( \begin{matrix} {\lambda }{1} & \mathbf{0} \ \mathbf{0} & {\mathbf{A}}{1} \end{matrix}\right)

其中 ${\mathbf{A}}_{1} = {\mathbf{S}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\mathbf{S}$ 为 $n - 1$ 阶实对称矩阵. 根据归纳假设,存在一个 $n - 1$ 阶正交矩阵 ${\mathbf{T}}_{2}$,使得

{\mathbf{T}}{2}^{-1}{\mathbf{A}}{1}{\mathbf{T}}{2} = \operatorname{diag}\left( {{\lambda }{2},{\lambda }{3},\cdots,{\lambda }{n}}\right)

为对角矩阵. 取 $n$ 阶正交矩阵 ${\mathbf{T}}_{3} = \left( \begin{matrix} 1 & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & {\mathbf{T}}_{2} \end{matrix}\right)$, 则有

{\mathbf{T}}{3}^{-1}\left( {{\mathbf{T}}{1}^{-1}\mathbf{A}{\mathbf{T}}{1}}\right) {\mathbf{T}}{3} = {\left( \begin{matrix} 1 & \mathbf{0} \ \mathbf{0} & {\mathbf{T}}{2} \end{matrix}\right) }^{-1}\left( \begin{matrix} {\lambda }{1} & \mathbf{0} \ \mathbf{0} & {\mathbf{A}}{1} \end{matrix}\right) \left( \begin{matrix} 1 & \mathbf{0} \ \mathbf{0} & {\mathbf{T}}{2} \end{matrix}\right) = \operatorname{diag}\left( {{\lambda }{1},{\lambda }{2},\cdots,{\lambda }_{n}}\right).

令 $\mathbf{T} = {\mathbf{T}}_{1}{\mathbf{T}}_{3}$,则 $\mathbf{T}$ 仍然为正交矩阵. 有

{\mathbf{T}}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{T} = \operatorname{diag}\left( {{\lambda }{1},{\lambda }{2},\cdots,{\lambda }_{n}}\right)

$$根据数学归纳法原理知定理成立.$$