例题 3.4.

Question

证明: 设 $A$ 和 $B$ 都是 $n$ 阶实对称矩阵,若 $A\sim B$,则存在正交矩阵 $\mathbf{T}$,使得 ${\mathbf{T}}^{-1}\mathbf{AT}=\mathbf{B}$.

证明

由 2 特征值, $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ 有相同的特征值 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n({\lambda }_i$ 不必各不相同). 又由 定理 3.6 (实对称矩阵总能对角化), 存在正交矩阵 ${\mathbf{T}}_1$ 和 ${\mathbf{T}}_2$, 使得

$${\mathbf{T}}_1^{-1}\mathbf{A}{\mathbf{T}}_1=\mathrm{diag}\left({\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n\right)={\mathbf{T}}_2^{-1}\mathbf{B}{\mathbf{T}}_2.$$

于是

$${\mathbf{T}}_2{\mathbf{T}}_1^{-1}\mathbf{A}{\mathbf{T}}_1{\mathbf{T}}_2^{-1}=\mathbf{B}$$

取 $\mathbf{T}={\mathbf{T}}_1{\mathbf{T}}_2^{-1}$,知 $T$ 仍是正交矩阵,且 ${\mathbf{T}}^{-1}={\mathbf{T}}_2{\mathbf{T}}_1^{-1}$,于是,

$${\mathbf{T}}^{-1}\mathbf{AT}=\mathbf{B}.$$