性质 2.1 (相似不变量)

如果 $A,B$ 相似, 即存在可逆矩阵 $P$, 使得 $B=P^{-1}AP$ ,则

1 行列式

$\left|\mathbf{A}\right|=\left|\mathbf{B}\right|$

证明

$\left|B\right|=\left|P^{-1}AP\right|=\left|P^{-1}\right|\left|A\right|\left|P\right|=\left|A\right|$ .

2 特征值

$\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ 有相同的特征多项式和特征值;

证明

$$\begin{array}{rl}\left|\lambda \mathbf{E}-\mathbf{B}\right|& =\left|\lambda \mathbf{E}-{\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{AP}\right|\\ & =\left|{\mathbf{P}}^{-1}\left(\lambda \mathbf{E}-\mathbf{A}\right)\mathbf{P}\right|\\ & =\left|{\mathbf{P}}^{-1}\right|\left|\lambda \mathbf{E}-\mathbf{A}\right|\left|\mathbf{P}\right|\\ & =\left|\lambda \mathbf{E}-\mathbf{A}\right|,\end{array}$$

即 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ 有相同的特征多项式. 又因为特征值是特征多项式的根, 于是其特征值也相同.

3 迹和秩

$\mathrm{tr}\left(\mathbf{A}\right)=\mathrm{tr}\left(\mathbf{B}\right)$ 且有 $r\left(\mathbf{A}\right)=r\left(\mathbf{B}\right)$

证明

由 2 及 1 可知, $\mathrm{tr}\left(\mathbf{A}\right)=\mathrm{tr}\left(\mathbf{B}\right)$.

由于 $\mathbf{P}$ 是可逆矩阵, 所以 $r\left(\mathbf{B}\right)=r\left({\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{AP}\right)\le r\left(\mathbf{A}\right),$同理, 由 $\mathbf{P}$ 可逆知 $r\left(\mathbf{A}\right)=r\left(\mathbf{PB}{\mathbf{P}}^{-1}\right)\le r\left(\mathbf{B}\right)$ 这样 $r\left(\mathbf{A}\right)=r\left(\mathbf{B}\right)$ 成立.

4 多项式

如果 $f\left(x\right)$ 是一个多项式,那么 $f\left(\mathbf{B}\right)={\mathbf{P}}^{-1}f\left(\mathbf{A}\right)\mathbf{P}$ ;

证明

设 $f\left(x\right)=a_m{x}^m+a_{m-1}{x}^{m-1}+\cdots +a_{1}x+a_0$, 则

$$\begin{array}{rl}f\left(\mathbf{B}\right)& =a_m{\mathbf{B}}^m+a_{m-1}{\mathbf{B}}^{m-1}+\cdots +a_1\mathbf{B}+a_0\mathbf{E}\\ & =a_m{\left({\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{AP}\right)}^m+a_{m-1}{\left({\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{AP}\right)}^{m-1}+\cdots +a_1\left({\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{AP}\right)+a_0\mathbf{E}\\ & =a_m{\mathbf{P}}^{-1}{\mathbf{A}}^m\mathbf{P}+a_{m-1}{\mathbf{P}}^{-1}{\mathbf{A}}^{m-1}\mathbf{P}+\cdots +a_1{\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{AP}+a_0\mathbf{E}\\ & ={\mathbf{P}}^{-1}\left(a_m{\mathbf{A}}^m+a_{m-1}{\mathbf{A}}^{m-1}+\cdots +a_1\mathbf{A}+a_0\mathbf{E}\right)\mathbf{P}\\ & ={\mathbf{P}}^{-1}f\left(\mathbf{A}\right)\mathbf{P}.\end{array}$$

5 转置 伴随

• ${\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\sim {\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}$
• 若 $\mathbf{A}$ 可逆, 则 ${\mathbf{A}}^{\ast }\sim {\mathbf{B}}^{\ast }$ .

证明

对 $\mathbf{B}={\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{AP}$ 两边同时施加转置运算, 有

$${\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}={\left({\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{AP}\right)}^{\mathrm{T}}={\mathbf{P}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}{\left({\mathbf{P}}^{-1}\right)}^{\mathrm{T}}={\mathbf{P}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}{\left({\mathbf{P}}^{\mathrm{T}}\right)}^{-1},$$

于是 ${\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\sim {\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}$ 成立.

若 $\mathbf{A}$ 可逆, 则

$$\begin{array}{rl}{B}^{\ast }& ={\left(P^{-1}AP\right)}^{\ast }\\ & =\left|P^{-1}AP\right|{\left(P^{-1}AP\right)}^{-1}\\ & =\left|A\right|P^{-1}{A}^{-1}P\\ & =P^{-1}{A}^{\ast }P.\end{array}$$

于是 $A^{\ast }\sim B^{\ast }$ 成立.