性质 1.2. 特征值 vs 迹 vs 行列式

设 $n$ 阶复矩阵 $\mathbf{A}={\left(a_{ij}\right)}_{nn}$ 的 $n$ 个特征值为 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$, 则有

1

$\mathbf{A}$ 的 $n$ 个特征值之和等于矩阵 $\mathbf{A}$ 的迹,即

$${\lambda }_1+{\lambda }_2+\cdots +{\lambda }_n=a_{11}+a_{22}+\cdots +a_{nn}.$$

2

$\mathbf{A}$ 的 $n$ 个特征值之积等于矩阵 $\mathbf{A}$ 的行列式的值,即

$${\lambda }_1{\lambda }_2\cdots {\lambda }_n=\left|A\right|$$

证明

首先,由条件知矩阵 $\mathbf{A}$ 的特征多项式为

$$f\left(\lambda \right)=\left(\lambda -{\lambda }_1\right)\left(\lambda -{\lambda }_2\right)\cdots \left(\lambda -{\lambda }_n\right)\text{\hspace{1em}(1.1)}$$

其次, 利用行列式的定义将矩阵 $\mathbf{A}$ 的特征多项式

$$f\left(\lambda \right)=\left|\lambda \mathbf{E}-\mathbf{A}\right|=\left|\begin{array}{cccc}\lambda -a_{11}& -a_{12}& \cdots & -a_{1n}\\ -a_{21}& \lambda -a_{22}& \cdots & -a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ -a_{n1}& -a_{n2}& \cdots & \lambda -a_{nn}\end{array}\right|$$

展开, 含 ${\lambda }^n$, ${\lambda }^{n-1}$ 的项只能出现在展开式的 $\left(\lambda -a_{11}\right)\left(\lambda -a_{22}\right)\cdots \left(\lambda -a_{nn}\right)$ 这一项中, 故 $f\left(\lambda \right)$ 最高项的系数为 $1$, $n-1$ 次项的系数为 $-\left(a_{11}+a_{22}+\cdots +a_{nn}\right)$. 在特征多项式 $\left|\lambda \mathbf{E}-\mathbf{A}\right|$ 中令 $\lambda =0$ 得常数项 $\left|-\mathbf{A}\right|={\left(-1\right)}^n\left|\mathbf{A}\right|$. 这样, 若只写出特征多项式前两项和常数项, 特征多项式又可以写成

$$f\left(\lambda \right)={\lambda }^n-\left(a_{11}+a_{22}+\cdots +a_{nn}\right){\lambda }^{n-1}+\cdots +{\left(-1\right)}^n\left|\mathbf{A}\right|.\text{\hspace{1em}(1.2)}$$

比较 (1.1) 和 (1.2) 两边 ${\lambda }^{n-1}$ 的系数和常数项 (或由方程的根与系数的关系), 即得 ${\lambda }_1+{\lambda }_2+\cdots +{\lambda }_n=a_{11}+a_{22}+\cdots +a_{nn},$

\end{proof}