性质 1.3. 不同特征值的特征向量之间线性无关

性质 1.3. 不同特征值的特征向量线性无关

设

• ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_t$ 是 $n$ 阶矩阵 $\mathbf{A}$ 两两不同的特征值,
• ${\alpha }_{i1},{\alpha }_{i2},\cdots$, ${\alpha }_{i{r}_i}$ 是属于 ${\lambda }_i$ 的一些线性无关的特征向量 $\left(i=1,2,\cdots ,t\right)$,

那么 ${\alpha }_{11},{\alpha }_{12},\cdots$, ${\alpha }_{1r_1},\cdots ,{\alpha }_{t1},\cdots ,{\alpha }_{t{r}_t}$ 同样线性无关.

\begin{proof} 对特征值的个数 $t$ 用数学归纳法.

当 $t=1$ 时,由假设知 ${\alpha }_{11},{\alpha }_{12},\cdots ,{\alpha }_{1r_1}$ 线性无关.

假设定理当 $t=k$ 时成立, 即 ${\alpha }_{11},{\alpha }_{12},\cdots ,{\alpha }_{1r_1},\cdots ,{\alpha }_{k1},\cdots ,{\alpha }_{k{r}_k}$ 线性无关. 来证明当 $t=k+1$ 时结论同样成立. 设

$$\sum _{j=1}^{r_1}{a}_{1j}{\alpha }_{1j}+\sum _{j=1}^{r_2}{a}_{2j}{\alpha }_{2j}+\cdots +\sum _{j=1}^{r_k}{a}_{kj}{\alpha }_{kj}+\sum _{j=1}^{r_{k+1}}{a}_{k+1,j}{\alpha }_{k+1,j}=0.\text{\hspace{1em}(1.3)}$$

在等式两边同乘 ${\lambda }_{k+1}$,得

$$\sum _{j=1}^{r_1}{a}_{1j}{\lambda }_{k+1}{\alpha }_{1j}+\sum _{j=1}^{r_2}{a}_{2j}{\lambda }_{k+1}{\alpha }_{2j}+\cdots +\sum _{j=1}^{r_{k+1}}{a}_{k+1,j}{\lambda }_{k+1}{\alpha }_{k+1,j}=0.\text{\hspace{1em}(1.4)}$$

在等式 (1.3) 的两端同时用矩阵 $\mathbf{A}$ 左乘, 并且利用 $\mathbf{A}{\alpha }_{ij}={\lambda }_i{\alpha }_{ij}$ ($i=1,2,\cdots ,k+1$; $j=1,2,\cdots ,r_i$) 得

$$\sum _{j=1}^{r_1}{a}_{1j}{\lambda }_1{\alpha }_{1j}+\sum _{j=1}^{r_2}{a}_{2j}{\lambda }_2{\alpha }_{2j}+\cdots +\sum _{j=1}^{r_{k+1}}{a}_{k+1,j}{\lambda }_{k+1}{\alpha }_{k+1,j}=0.\text{\hspace{1em}(1.5)}$$

两个等式 (1.4) 和 (1.5) 相减, 得

$$\sum _{j=1}^{r_1}{a}_{1j}\left({\lambda }_{k+1}-{\lambda }_1\right){\alpha }_{1j}+\sum _{j=1}^{r_2}{a}_{2j}\left({\lambda }_{k+1}-{\lambda }_2\right){\alpha }_{2j}+\cdots +\sum _{j=1}^{r_k}{a}_{kj}\left({\lambda }_{k+1}-{\lambda }_k\right){\alpha }_{kj}=0.$$

由归纳假设知 ${\alpha }_{11},{\alpha }_{12},\cdots ,{\alpha }_{1r_1},\cdots ,{\alpha }_{k1},\cdots ,{\alpha }_{k{r}_k}$ 线性无关, 于是

$$a_{ij}\left({\lambda }_{k+1}-{\lambda }_i\right)=0\left(i=1,2,\cdots ,k;j=1,2,\cdots ,r_i\right).$$

由题意知 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_{k+1}$ 是两两不同的特征值,从而有

$$a_{ij}=0\left(i=1,2,\cdots ,k;j=1,2,\cdots ,r_i\right).$$

将其代入 (1.3) 有

$$\sum _{j=1}^{r_{k+1}}{a}_{k+1,j}{\alpha }_{k+1,j}=0.$$

又因为 ${\alpha }_{k+1,1},{\alpha }_{k+1,2},\cdots ,{\alpha }_{k+1,r_{k+1}}$ 是属于 ${\lambda }_{k+1}$ 的一些线性无关的特征向量, 所以

$$a_{k+1,j}=0\left(j=1,2,\cdots ,r_{k+1}\right).$$

这就证明 ${\alpha }_{11},{\alpha }_{12},\cdots ,{\alpha }_{1r_1},\cdots ,{\alpha }_{k+1,1},\cdots ,{\alpha }_{k+1,r_{k+1}}$ 线性无关. \end{proof}