6.3.3 旋转面及其方程

一条曲线 $C$ 绕一条直线 $l$ 旋转所得到的曲面称为旋转面. 曲线 $C$ 称为母线, 直线 $l$ 称为旋转轴 (如图 6.5 所示).

图 6.5

我们只考虑旋转轴为坐标轴的情形. 设在 $yOz$ 面上有一条已知曲线 $C$, 方程为 $f\left(y,z\right)=0$, 下面求此曲线 $C$ 绕 $z$ 轴旋转一周所形成的旋转面的方程.

设 $M\left(x,y,z\right)$ 为所求旋转面上的任一点, 当曲线 $C$ 绕 $z$ 轴旋转一周时, 其上每一点都随着旋转而各自形成一个圆.

设点 $M$ 在由曲线 $C$ 上的点 $M_1\left(0,y_1,z_1\right)$ 绕 $z$ 轴旋转所形成的圆上,显然 $z=z_1$. 记圆心为 $O_1\left(0,0,z_1\right)$ ,则 $\left|\overrightarrow{O_{1}M}\right|=$ $\left|\overrightarrow{O_1{M}_1}\right|$ ,即

$$\sqrt{x^2+y^2}=\left|y_1\right|,y_1=\pm \sqrt{x^2+y^2}.$$

又因为 $M_1$ 在曲线 $C$ 上,所以 $f\left(y_1,z_1\right)=0$ ,从而有

$$f\left(\pm \sqrt{x^2+y^2},z\right)=0.$$

由此可见, 在母线 $C$ 的方程 $f\left(y,z\right)=0$ 中将 $y$ 换成 $\pm \sqrt{x^2+y^2}$ 便得到曲线 $C$ 绕 $z$ 轴旋转所形成的旋转面的方程.

同理,如果把曲线 $C$ 绕 $y$ 轴旋转, 那么所形成的旋转曲面的方程为 $f(y,\pm \sqrt{x^2+z^2})=0.$ 完全类似可以得到其他情形下旋转面的方程.

定义 (圆锥面)

直线 $L$ 绕另一条与 $L$ 相交的直线旋转一周所得到的旋转面称为圆锥面.

• 两条直线的交点叫做圆锥面的顶点,
• 两条直线的夹角 $\alpha \left(0<\alpha <\frac{\pi }{2}\right)$ 叫做圆锥面的半顶角.

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例题 3.3. 圆锥面

例题 3.4. 旋转抛物面