6.4.1 椭球面

定义 (椭球面)

设 $a>0,b>0,c>0$ ,由方程

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\text{\hspace{1em}(4.1)}$$

表示的曲面称为椭球面. $a,b$ 和 $c$ 称为椭球面的半轴.

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椭球面 (4.1) 与 $xOy$ 面的交线为

$$\{\begin{array}{ll}\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}& =1\\ z& =0\end{array}$$

这是 $xOy$ 面上的一个椭圆. 同理,椭球面 (4.1) 与 $yOz$ 面 $\left(xOz\text{面}\right)$ 的交线也是椭圆.

用平行于 $xOy$ 面的平面 $z=h$ 截椭球面 (4.1) 得到的交线 (称为截痕) 为

$$\{\begin{array}{ll}\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}& =1-\frac{h^2}{c^2}\\ z& =h\end{array}$$

• 当 $\left|h\right|<c$ 时,截痕是椭圆;
• 当 $\left|h\right|=c$ 时,截痕是一个点;
• 当 $\left|h\right|>c$ 时,无轨迹.

用平行于另外两个坐标面的平面去截椭球面 (4.1), 可得到类似的结果.

综合上面的讨论, 可知椭球面 (4.1) 的形状如图 6.6 所示.

图 6.6